Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD cạnh 1. Trên các mặt phẳng $(BCD)$, $(CDA)$, $(DAB)$,$(ABC)$ lần lượt lấy các điểm $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ sao cho các đường thẳng $A_{1}B_{1}$, $B_{1}C_{1}$, $C_{1}D_{1}$, $D_{1}A_{1}$ lần lượt vuông góc với các mặt phẳng $(BCD)$,$(CDA)$,$(DAB)$,$(ABC)$. Biết thể tích khối tứ diện $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ bằng $\dfrac{a}{b}\sqrt{2}$, với a, b là các số nguyên dương và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính $a + b$.

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất về vectơ để chứng minh các cạnh tứ diện $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ tỉ lệ thuận với các vectơ từ tâm đến đỉnh của tứ diện gốc.

- Hệ trục tọa độ Oxyz với O là trọng tâm tứ diện, toạ độ các đỉnh $A(1;1;1),$ $B(1; - 1; - 1),$ $C( - 1;1; - 1),$$D( - 1; - 1;1)$, viết phương trình các mặt phẳng và biểu diễn tọa độ các đỉnh $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ theo một tham số tỉ lệ chung.

- Thay tọa độ các đỉnh vào phương trình mặt phẳng tương ứng để lập hệ phương trình, từ đó giải tìm tham số tỉ lệ và tọa độ các điểm.

- Tính thể tích bằng công thức trong không gian tọa độ $V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}' = \dfrac{1}{6}\left| {\overset{\rightarrow}{A_{1}B_{1}} \cdot \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{B_{1}C_{1}},\overset{\rightarrow}{C_{1}D_{1}}} \right\rbrack} \right|$, sau đó nhân với lập phương tỉ số đồng dạng để quy đổi về cạnh bằng 1.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Chọn trọng tâm $O$ của tứ diện đều làm gốc tọa độ, có:

$\left. OA\bot(BCD)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OA}//\overset{\rightarrow}{A_{1}B_{1}}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{A_{1}B_{1}} = a\overset{\rightarrow}{OA} \right.$.

$\left. OB\bot(CDA)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OB}//\overset{\rightarrow}{B_{1}C_{1}}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{B_{1}C_{1}} = b\overset{\rightarrow}{OB} \right.$.

$\left. OC\bot(DAB)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OC}//\overset{\rightarrow}{C_{1}D_{1}}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{C_{1}D_{1}} = c\overset{\rightarrow}{OC} \right.$.

$\left. OD\bot(ABC)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OD}//\overset{\rightarrow}{D_{1}A_{1}}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{D_{1}A_{1}} = d\overset{\rightarrow}{OD} \right.$.

Vì $\overset{\rightarrow}{A_{1}B_{1}} + \overset{\rightarrow}{B_{1}C_{1}} + \overset{\rightarrow}{C_{1}D_{1}} + \overset{\rightarrow}{D_{1}A_{1}} = \overset{\rightarrow}{0}$

$\left. \Rightarrow a\overset{\rightarrow}{OA} + b\overset{\rightarrow}{OB} + c\overset{\rightarrow}{OC} + d\overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0} \right.$ (1)

Vì O là trọng tâm tứ diện ABCD nên $\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0}$

$\left. \Rightarrow a\overset{\rightarrow}{OA} + a\overset{\rightarrow}{OB} + a\overset{\rightarrow}{OC} + a\overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0} \right.$ (2)

Lấy (2) trừ (1), ta có: $(a - b)\overset{\rightarrow}{OB} + (a - c)\overset{\rightarrow}{OC} + (a - d)\overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Vì O là tâm tứ diện nên ba vectơ $\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OC},\overset{\rightarrow}{OD}$ không đồng phẳng.

Do đó $\left. \left\{ \begin{array}{l} {a - b = 0} \\ {a - c = 0} \\ {a - d = 0} \end{array} \right.\Rightarrow a = b = c = d \right.$.

Xét tứ diện ABCD cạnh bằng $2\sqrt{2}$ với các đỉnh $A(1;1;1)$, $B(1; - 1; - 1)$, $C( - 1;1; - 1)$, $D( - 1; - 1;1)$.

Phương trình các mặt đối diện là:

Mặt $(BCD):x + y + z + 1 = 0$ (VTPT ${\overset{\rightarrow}{n}}_{A} = (1;1;1)$).

Mặt $(CDA):x - y - z + 1 = 0$ (VTPT ${\overset{\rightarrow}{n}}_{B} = (1; - 1; - 1)$).

Mặt $(DAB): - x + y - z + 1 = 0$ (VTPT ${\overset{\rightarrow}{n}}_{C} = ( - 1;1; - 1)$).

Mặt $(ABC): - x - y + z + 1 = 0$ (VTPT ${\overset{\rightarrow}{n}}_{D} = ( - 1; - 1;1)$).

Theo đề bài, các cạnh của tứ diện mới vuông góc với các mặt của tứ diện cũ. Gọi a là hệ số tỉ lệ, ta có:

$\left. \overset{\rightarrow}{A_{1}B_{1}} = a\overset{\rightarrow}{OA} = (a;a;a)\Rightarrow B_{1} = (x + a;y + a;z + a) \right.$.

$\left. \overset{\rightarrow}{B_{1}C_{1}} = a\overset{\rightarrow}{OB} = (a; - a; - a)\Rightarrow C_{1} = B_{1} + (a; - a; - a) = (x + 2a;y;z) \right.$.

$\left. \overset{\rightarrow}{C_{1}D_{1}} = a\overset{\rightarrow}{OC} = ( - a;a; - a)\Rightarrow D_{1} = C_{1} + ( - a;a; - a) = (x + a;y + a;z - a) \right.$.

Ta có:

$\left. A_{1} \in (BCD)\Rightarrow x + y + z + 1 = 0 \right.$.

$\left. B_{1} \in (CDA)\Rightarrow(x + a) - (y + a) - (z + a) + 1 = 0\Leftrightarrow x - y - z - a + 1 = 0 \right.$.

$\left. C_{1} \in (DAB)\Rightarrow - (x + 2a) + y - z + 1 = 0\Leftrightarrow - x + y - z - 2a + 1 = 0 \right.$.

$\left. D_{1} \in (ABC)\Rightarrow - (x + a) - (y + a) + (z - a) + 1 = 0\Leftrightarrow - x - y + z - 3a + 1 = 0 \right.$.

Giải hệ: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x + y + z + 1 = 0} \\ {x - y - z - a + 1 = 0} \\ {- x + y - z - 2a + 1 = 0} \\ {- x - y + z - 3a + 1 = 0} \end{array} \right.\Rightarrow a = \dfrac{2}{3} \right.$.

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{A_{1}B_{1}} = \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right) \right.$, $\overset{\rightarrow}{B_{1}C_{1}} = \left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$, $\overset{\rightarrow}{C_{1}D_{1}} = \left( {- \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$.

Thể tích khối tứ diện trong hệ tọa độ đang xét:

${V'}_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} = \dfrac{1}{6}\left| {\overset{\rightarrow}{A_{1}B_{1}} \cdot \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{B_{1}C_{1}},\overset{\rightarrow}{C_{1}D_{1}}} \right\rbrack} \right| = \dfrac{16}{81}$.

Cạnh tứ diện đang xét là $2\sqrt{2}$, cạnh đề bài cho là $1$$\Rightarrow$ tỉ số $k = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.

Thể tích thực tế: $V = V' \cdot k^{3} = \dfrac{16}{81} \cdot \left( \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)^{3} = \dfrac{16}{81} \cdot \dfrac{1}{16\sqrt{2}} = \dfrac{1}{81\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{162}$.

$\left. V = \dfrac{1}{162}\sqrt{2}\Rightarrow a = 1,b = 162 \right.$.

Vậy $a + b = 163$.