Đề bài

Hai thí sinh A và B cùng tham gia một cuộc thi vấn đáp. Cán bộ coi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì để xác định câu hỏi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi của các thí sinh là như nhau. Hai phòng bì được gọi là giống nhau nếu chứa cùng một câu hỏi. Xác suất để 3 phong bì A chọn và 3 phong bì B chọn có ít nhất hai phong bì giống nhau là $\dfrac{a}{b}$ (trong đó $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b \in {\mathbb{N}})$. Tính $a^{2} + b^{2}$.

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Số cách bạn A chọn ra 3 phong bì đựng câu hỏi bất kì là: \(C_{10}^3\) cách.

Số cách bạn B chọn ra 3 phong bì đựng câu hỏi bất kì là: \(C_{10}^3\) cách.

Số phần tử của không gian mẫu: \(C_{10}^3.C_{10}^3\).

Hai bạn chọn 3 phong bì chứa câu hỏi giống nhau:

- A chọn 3 trong 10 phong bì: \(C_{10}^3\) cách.

- B chọn 3 phong bì chứa câu hỏi giống hệt A: \(C_3^3\) cách.

Hai bạn chọn 2 phong bì chứa câu hỏi giống nhau:

- A chọn 3 trong 10 phong bì: \(C_{10}^3\) cách.

- B chọn 2 phong bì chứa câu hỏi giống hệt A và 1 phong bì chứa câu hỏi khác câu còn lại của A: \(C_3^2C_7^1\) cách.

Xác suất cần tìm là \(\frac{{C_{10}^3 + C_{10}^3.C_3^2.C_7^1}}{{C_{10}^3.C_{10}^3}} = \frac{{11}}{{60}} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 3721\).