Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bày kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD tâm H và cạnh đáy dài 262 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 230 m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com). Biết căn phòng chứa đựng thông tin khảo cổ có dạng hình lập phương với thể tích 64 $m^{3}$ ngay tại trung tâm, có cạnh đáy song song với cạnh đáy của kim tự tháp và H cũng là tâm của mặt sàn căn phòng. Các nhà khảo cổ muốn tạo một lỗ khoan từ bên ngoài vào căn phòng này.
Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) Kim tự tháp có hình dạng là một hình chóp đều.
b) Chiều cao của kim tự tháp là $\sqrt{18579}$ (m).
c) Phần không gian mà kim tự tháp chiếm chỗ là 3 118 752 $m^{3}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Chiều dài nhỏ nhất của lỗ khoan mà các nhà khảo cổ muốn tạo bằng 90 mét (làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Kim tự tháp có hình dạng là một hình chóp đều.
b) Chiều cao của kim tự tháp là $\sqrt{18579}$ (m).
c) Phần không gian mà kim tự tháp chiếm chỗ là 3 118 752 $m^{3}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Chiều dài nhỏ nhất của lỗ khoan mà các nhà khảo cổ muốn tạo bằng 90 mét (làm tròn đến hàng đơn vị).
Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính thể tích khối chóp, kiến thức về tam giác đồng dạng để tính toán.
Mô hình hoá bài toán ta được hình vẽ minh hoạ sau:
a) Đúng. Hình chóp S.ABCD có đáy là đa giác đều (hình vuông), có các cạnh bên bằng nhau, suy ra kim tự tháp có hình dạng là một hình chóp đều.
b) Sai. Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, ta có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \)
\(= \sqrt {{{262}^2} + {{262}^2}} = 262\sqrt 2 \) (m).
\( \Rightarrow HC = \frac{{AC}}{2} = 131\sqrt 2 \) (m).
Xét \(\Delta SHC\) vuông tại H, ta có:
\(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} \)
\(= \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt {18578} \) (m).
Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng \(\sqrt {18578} \) mét.
c) Đúng. Phần kim tự tháp chiếm chỗ trong không gian là phần thể tích của kim tự tháp bằng thể tích của khối chóp S.ABCD.
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} \)
\(= \frac{1}{3}.\sqrt {18578} {.262^2} \approx 3118752\).
d) Đúng. Để mũi khoan có chiều dài ngắn nhất, các nhà khảo cổ phải khoan từ mặt bên vào vị trí cạnh của khối lập phương (căn phòng).
Khoảng cách ngắn nhất là khoảng cách từ một điểm I thuộc cạnh trên của khối lập phương đến mặt bên.
Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Kẻ HK vuông góc với SM, suy ra HK là khoảng cách từ H đến mặt bên (SCD).
Trong tam giác \(\Delta SHM\) vuông tại H, H là đường cao, ta có:
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}\).
\( \Rightarrow H{K^2} = \frac{{18578.17161}}{{35739}} \Rightarrow HK = \frac{{131\sqrt {18578} }}{{57\sqrt {11} }}\) (m).
Gọi N là hình chiếu của I trên HM, qua I kẻ đường thẳng song song với SM, cắt HM tại J.
Khối lập phương có độ dài cạnh \(IN = \sqrt[3]{{64}} = 4\).
Ta có: \(\Delta SHM \sim \Delta INJ\), suy ra: \(\frac{{NJ}}{{HM}} = \frac{{IN}}{{SH}} \)
\(\Rightarrow NJ = \frac{{IN}}{{SH}}.HM = \frac{{4.131}}{{\sqrt {18578} }}\).
Suy ra: \(\frac{{JE}}{{HK}} = \frac{{JM}}{{HM}} = 1 - \frac{{HJ}}{{HM}}\)
\(\Rightarrow JE = HK\left( {1 - \frac{{HN + NJ}}{{HM}}} \right)\).
Vậy khoảng cách ngắn nhất:
\(IF = JE = \frac{{131\sqrt {18578} }}{{57\sqrt {11} }}\left( {1 - \frac{{2 + \frac{{524}}{{\sqrt {18578} }}}}{{131}}} \right) \approx 90,23571587 \approx 90\) (m).
Danh sách bình luận