Đề bài

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm A(0; 4; 5), B(3; 0; 5), C(3; 4; 0), D(3; 4; 5) và vị trí M(a; b; c) trên đoạn thẳng AB thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đường thẳng MD lớn nhất. Khi đó giá trị a + b + c bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Đề bài yêu cầu tìm M sao cho $s = d\left( {A,MD} \right) + d\left( {B,MD} \right) + d\left( {C,MD} \right)$ lớn nhất.

Chứng minh $d\left( {C,MD} \right)$ có độ dài cố định. Tìm $d\left( {A,MD} \right) + d\left( {B,MD} \right)$ lớn nhất bằng cách ứng dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Áp dụng phương trình tham số của đường thẳng để tìm tọa độ điểm M.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Các điểm A, B, D cùng có cao độ bằng 5, do đó ba điểm trên cùng thuộc mặt phẳng z = 5 song song với mặt phẳng (Oxy).

Tương tự, ta có A, D, C cùng thuộc mặt phẳng y = 4 song song với mặt phẳng (Oxz); B, D, C cùng thuộc mặt phẳng x = 3 song song với (Oyz).

Do đó, O, A, B, C, D là các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.

Ta có $\left. CD\bot(ABD)\Rightarrow CD\bot MD\Rightarrow d\left( {C,MD} \right) = CD = 5 \right.$.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng MD.

$s = d\left( {A,MD} \right) + d\left( {B,MD} \right) + d\left( {C,MD} \right) = AH + BK + 5$.

s lớn nhất khi AH + BK lớn nhất. Ta có:

$\left. \left. \begin{array}{l} {AH \leq AM} \\ {BK \leq BM} \end{array} \right\}\Rightarrow AH + BK \leq AM + BM = AB \right.$.

Dấu “=” xảy ra $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {AH = AM} \\ {BK = BM} \end{array} \right.\Leftrightarrow MD\bot AB \right.$.

Đường thẳng AB nhận $\overset{\rightarrow}{AB} = (3; - 4;0)$ làm vecto chỉ phương và đi qua A(0; 4; 5) nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3t} \\ {y = 4 - 4t} \\ {z = 5} \end{array} \right.$ $(t \in {\mathbb{R}})$.

$\left. M \in AB\Rightarrow M(3t;4 - 4t;5)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{DM} = (3t - 3; - 4t;0) \right.$.

$\left. \overset{\rightarrow}{DM}\bot\overset{\rightarrow}{AB}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{DM}.\overset{\rightarrow}{AB} = 0\Leftrightarrow 3(3t - 3) - 4( - 4t) = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{9}{25} \right.$.

Vậy $\left. M\left( {\dfrac{27}{25};\dfrac{64}{25};5} \right)\Rightarrow a + b + c = \dfrac{27}{25} + \dfrac{64}{25} + 5 = 8,64 \right.$.