Quanh một đa giác đều 2n cạnh $\left( {n \geq 6,n \in {\mathbb{N}}} \right)$ vẽ vòng tròn ngoại tiếp. Ba đỉnh bất kì của đa giác được gọi là cùng phía nếu tồn tại một nửa đường tròn chứa 3 đỉnh đó (các đầu mút của nửa đường tròn là các đỉnh của đa giác). Biết xác suất của biến cố “3 đỉnh chọn bất kì cùng phía” bằng $\dfrac{33}{43}$. Tìm n?
Sử dụng phương pháp tổ hợp.
Đa giác 2n cạnh có 2n đỉnh.
Số cách chọn 3 đỉnh từ 2n đỉnh: $C_{2n}^{3}$.
Số cách chọn 3 đỉnh cùng phía:
- Chọn 1 đỉnh làm mốc: 2n (cách).
- Chọn 2 đỉnh còn lại trong số n đỉnh nằm trên nửa đường tròn theo chiều kim đồng hồ: $C_{n}^{2}$ (cách).
Vậy số cách chọn 3 đỉnh bất kì cùng phía là $2n.C_{n}^{2}$.
Ta có $\left. \dfrac{2n.C_{n}^{2}}{C_{2n}^{3}} = \dfrac{33}{43}\Leftrightarrow\dfrac{2n.n!}{2!(n - 2)!}:\dfrac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = \dfrac{33}{43} \right.$
$\left. \Leftrightarrow\dfrac{n}{2(2n - 1)} = \dfrac{11}{43}\Leftrightarrow 43n = 44n - 22\Leftrightarrow n = 22 \right.$ (TM).
Danh sách bình luận