Đề bài

Trong trận đấu giữa Thụy Điển và Anh tại giải vô địch bóng đá thế giới, khi thời gian trận đấu sắp kết thúc, Zlatan Ibrahimović đã thực hiện một cú xe đạp chồng ngược móc bóng từ khoảng cách xa vào lưới đội tuyển Anh. Đây được coi là một trong những bàn thắng đẹp nhất lịch sử bóng đá thế giới với khoảng cách xa nhất từng được ghi bằng kỹ thuật này. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) sao cho (Oxy) trùng với mặt đất, tại thời điểm Ibra tung người móc bóng quả bóng thuộc tia Oz và có độ cao 2 m, bay theo quỹ đạo của một Parabol thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt đất rơi xuống đất tại vị trí điểm A nằm trong khung thành. Biết $d(A,Oy) = AH = 8$ $(H \in Oy)$ và OH = 15. Sau khi bay lên không trung quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại điểm có hoành độ x = 3. Tại thời điểm bóng bắt đầu bay vào khung thành (tức là bóng nằm trên vạch kẻ ngang của khung thành) thì độ cao của quả bóng so với mặt đất là bao nhiêu mét? Biết rằng khung thành CDEF nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất và đi qua 2 điểm M(4; 15; -2), N(8; 14; 6). (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Ta có: O(0; 0; 0), A(8; 15; 0), B(0; 0; 2).

\(\overrightarrow {OA}  = (8;15;0)\), \(\overrightarrow {OB}  = (0;0;2) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = (30; - 16;0) = 2(15; - 8;0)\).

Mặt phẳng (OAB) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (15; - 8;0)\) nên có phương trình:

\(15x - 8y = 0\).

\(\overrightarrow {MN}  = (4; - 1;8)\), \(\overrightarrow k  = (0;0;1) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow k } \right] = ( - 1; - 4;0)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow n  =  - \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow k } \right] = (1;4;0)\).

Mặt phẳng (CDEF) đi qua M(4; 15; -2) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1;4;0)\) nên có phương trình:

\(1(x - 4) + 4(y - 15) = 0 \Leftrightarrow x + 4y - 64 = 0\).

Xét hệ trục Otz. Gọi parabol (P): \(z = a{t^2} + bt + c\).

\(B(0;2) \in (P) \Rightarrow c = 2\) (1)

\(OA = \sqrt {{8^2} + {{15}^2} + {0^2}}  = 17 \).

\(\Rightarrow A(17;0) \in (P) \Rightarrow 289a + 17b + c = 0\)  (2)

Ta có \(I \in (OAB) \Rightarrow 15.3 - 8{y_I} = 0 \Leftrightarrow {y_I} = \frac{{45}}{8} = {y_K}\).

\(OK = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{45}}{8}} \right)}^2}}  = \frac{{51}}{8} \Rightarrow {t_K} = {t_I} = \frac{{51}}{8}\).

I là điểm cực trị của (P) nên \(z'\left( {{t_I}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2a{t_I} + b = 0 \Leftrightarrow 2a.\frac{{51}}{8} + b = 0 \Leftrightarrow \frac{{51}}{4}a + b = 0\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(a =  - \frac{8}{{289}}\), \(b = \frac{6}{{17}}\), \(c = 2 \).

\(\Rightarrow (P):z =  - \frac{8}{{289}}{t^2} + \frac{6}{{17}}t + 2\).

Đường thẳng OA đi qua O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {OA}  = (8;15;0) \Rightarrow OA:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8t}\\{y = 15t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\).

Gọi G là giao điểm của OA và mặt phẳng (CDEF).

\(G \in OA \Rightarrow G(8t; 15t; 0) \in (CDEF):x + 4y - 64 = 0\).

\( \Rightarrow 8t + 4.15t - 64 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{16}}{{17}}\).

\(OG = \sqrt {{{(8t)}^2} + {{(15t)}^2} + {0^2}}  = 17t = 17.\frac{{16}}{{17}} = 16 \Rightarrow G(16;0)\).

Suy ra độ cao của quả bóng lúc vào khung thành là:

\(z =  - \frac{8}{{289}}{.16^2} + \frac{6}{{17}}.16 + 2 = \frac{{162}}{{289}} \approx 0,56\) (m).