Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông ABCD với AB = 100 m, DC = 60 m và AD = 40 m. Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao bởi cạnh AB và một phần của đường cong $\mathcal{H}$, biết rằng $\mathcal{H}$ chứa các điểm K sao cho tích khoảng cách từ K đến AD và BC luôn bằng $600\sqrt{2}$ m. Anh nghĩa xây thêm một nhà kho để chứa thức ăn cho cá được tạo bởi cạnh AD, DC và đường cong Parabol P có đỉnh A, biết rằng phần đất để xây nhà kho có diện tích $S=\frac{1600}{3}$ $\left(m^{2}\right)$. Anh Nghĩa suy nghĩ và muốn xây một con đường thẳng đi từ nhà kho đến ao cá để vận chuyển thức ăn cho cá. Hãy tính độ dài con đường ngắn nhất? (Đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần trăm).
Tìm phương trình của (P) và (H). Giả sử M thuộc (P), N thuộc (H) sao cho MN ngắn nhất, khi đó tiếp tuyến của (P), (H) tại M, N song song với nhau. Từ đó tính MN.
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng A, B thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy.
Khi đó A(0; 0), B(100; 0), C(60; 40), D(0; 40).
Từ tọa độ hai điểm B, C, ta tìm được phương trình đường thẳng BC: x + y – 100 = 0.
Giả sử K(x; y). Ta có \(d\left( {K,AD} \right).d\left( {K,BC} \right) = 600\sqrt 2 \)
\(\Leftrightarrow x.\frac{{\left| {x + y - 100} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 600\sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 100 = \frac{{1200}}{x}\\x + y - 100 = \frac{{ - 1200}}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - x + 100 + \frac{{1200}}{x}\\y = - x + 100 - \frac{{1200}}{x}\end{array} \right.\)
Vì đồ thị (H) có điểm cực trị nên (H): \( - x + 100 - \frac{{1200}}{x}\).
Giả sử (P): \(y = a{x^2}\). Xét \(y = a{x^2} = 40 \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{40}}{a}} \).
Ta có \(S = \int\limits_0^{\sqrt {\frac{{40}}{a}} } {\left( {40 - a{x^2}} \right)dx} = \frac{{1600}}{3} \)
\(\Leftrightarrow 40\sqrt {\frac{{40}}{a}} - \frac{a}{3}{\left( {\sqrt {\frac{{40}}{a}} } \right)^3} - \frac{{1600}}{3} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{{10}}\).
Vậy (P): \(y = \frac{1}{{10}}{x^2}\).
Giả sử M thuộc (P), N thuộc (H) sao cho MN ngắn nhất.
Ta có \(M\left( {m;\frac{{{m^2}}}{{10}}} \right)\), \(N\left( {n; - n + 100 - \frac{{1200}}{n}} \right)\).
Để MN ngắn nhất thì tiếp tuyến của (P), (H) tại M, N song song với nhau
\( \Leftrightarrow {k_M} = {k_N} \Leftrightarrow y{'_M} = y{'_N} \Leftrightarrow \frac{m}{5} = - 1 + \frac{{1200}}{{{n^2}}} \Leftrightarrow m = \frac{{6000}}{{{n^2}}} - 5\).
Suy ra \(M\left( {\frac{{6000}}{{{n^2}}} - 5;\frac{1}{{10}}{{\left( {\frac{{6000}}{{{n^2}}} - 5} \right)}^2}} \right)\).
\(M{N^2} = {\left( {\frac{{6000}}{{{n^2}}} - 5 - n} \right)^2} + {\left[ {\frac{1}{{10}}{{\left( {\frac{{6000}}{{{n^2}}} - 5} \right)}^2} + n - 100 + \frac{{1200}}{n}} \right]^2} = f(n)\).
\(f'(n) = 0 \Leftrightarrow n \approx 18,13\), khi đó \(MN \approx 5,23\).
Danh sách bình luận