Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rada có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính 450 km và chiều cao 30 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với mặt phẳng Oxy là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục Oz hướng lên cao và gốc tọa độ O trùng với vị trí của rada (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là 1 km. Một tên lửa bắt đầu từ vị trí điểm A(30; –780; 60), dự định bay thẳng với vận tốc không đổi 7 km/giây hướng thẳng đến vị trí của rada. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rada phát hiện đến khi nó bắn trúng rada là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong không gian.
Đặt tên các điểm như hình vẽ.
Xét tam giác DBC vuông tại D, đường cao DO:
\(D{O^2} = BO.CO = {450^2} = 30.CO \Leftrightarrow CO = 6750\) (km).
\( \Rightarrow BC = CO + BO = 6750 + 30 = 6780\) (km).
Bán kính mặt cầu là \(R = \frac{{6780}}{2} = 3390\) (km). Do đó \(I\left( {0;0;3390 - 30} \right) \Rightarrow I(0;0;3360)\).
Phương trình mặt cầu: \({x^2} + {y^2} + {(z + 3360)^2} = {3390^2}\).
Vecto chỉ phương của OA là \(\overrightarrow u = \frac{1}{{30}}\overrightarrow {OA} = (1; - 26;2)\).
Phương trình đường thẳng OA: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 26t\\z = 2t\end{array} \right.\).
Để tìm giao điểm K của OA với mặt cầu, ta xét:
\({t^2} + {( - 26t)^2} + {(2t + 3360)^2} = {3390^2}\)
\( \Leftrightarrow 227{t^2} + 4480t - 67500 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - \frac{{6750}}{{227}} \approx - 29,7\end{array} \right.\).
Vì cao độ K dương nên \(2t > 0 \Leftrightarrow t > 0\), do đó \(K\left( {10; - 260;20} \right)\).
\(OK = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 260} \right)}^2} + {{20}^2}} = 10\sqrt {681} \) (km).
Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rada phát hiện đến khi bắn trúng rada là \(\frac{{10\sqrt {681} }}{7} \approx 37\) (giây).
Các bài tập cùng chuyên đề
