Đề bài

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích 1 $\left(m^{3}\right)$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp 1,5 lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là 240.000 đồng/$m^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là 180.000 đồng/$m^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu,...). Hỏi với số tiền là 200 triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Phương pháp giải

Gọi chiều rộng thùng gỗ là x. Lập hàm biểu diễn chi phí sản xuất 1 thùng gỗ theo x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đó rồi tìm số thùng gỗ có thể sản xuất với 200 triệu đồng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi chiều rộng thùng gỗ là x (m, x > 0), khi đó chiều dài thùng gỗ là 1,5x (m).

Diện tích đáy thùng gỗ là \({S_d} = 1,5{x^2}\) \(({m^2})\), suy ra chiều cao thùng gỗ là \(h = \frac{1}{{1,5{x^2}}} = \frac{2}{{3{x^2}}}\) (m).

Diện tích xung quanh thùng gỗ là \({S_{xq}} = 2(x + 1,5x).\frac{2}{{3{x^2}}} = \frac{{10}}{{3x}}\) \(({m^2})\).

Chi phí 1 thùng gỗ là: \(C(x) = 240000.1,5{x^2} + 180000.\frac{{10}}{{3x}}\)

\( = 360000{x^2} + \frac{{600000}}{x} = 10000\left( {36{x^2} + \frac{{60}}{x}} \right)\) (đồng).

\(C'(x) = 720000x - \frac{{600000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).

Vậy với 200 triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa \(\frac{{200000000}}{{C\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}} \right)}} \approx 209\) thùng gỗ.