Đề bài

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh $\sqrt{2}$, hình chiếu của A' lên mặt (ABC) trùng với trung điểm của BC và biết rằng góc nhị diện $\left[C',BC,A\right]=135^o$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và AC' là?

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa trong không gian.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là trung điểm của BC, A thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, A’ thuộc tia Oz. Gọi O' là trung điểm của B'C'.

Tam giác ABC và A’B’C’ là các tam giác đều nên \(AO = A'O' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Ta có \(A'O \bot (ABC) \Rightarrow A'O \bot AO \Rightarrow \widehat {A'OO'} = {45^o}\), mà \(A'O \bot A'O'\) nên tam giác A’O’O vuông cân tại A’ và \(OA' = A'O' = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

\(A\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2};0;0} \right)\), \(C\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right)\), \(B\left( {0;\frac{{ - \sqrt 2 }}{2};0} \right)\), \(A'\left( {0;0;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\).

\(\overrightarrow {AA'}  = \left( {\frac{{ - \sqrt 6 }}{2};0;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow C'\left( {\frac{{ - \sqrt 6 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\).

\(\overrightarrow {A'B}  = \left( {0;\frac{{ - \sqrt 2 }}{2};\frac{{ - \sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\overrightarrow {{u_1}} \) với \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {0;1;\sqrt 3 } \right)\).

\(\overrightarrow {AC'}  = \left( { - \sqrt 6 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\overrightarrow {{u_2}} \) với \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2\sqrt 3 ;1;\sqrt 3 } \right)\).

\(d\left( {A'B,AC'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \approx 0,61\).