Trong không gian Oxyz cho trước với mặt nước phẳng lặng trùng với mặt phẳng (Oxy), đơn vị trên mỗi trục là mét; một chú chim bói cá đang đậu trên một cảnh cây ở vị trí A(0; 0; 5) tiến hành bay xuống để thám thính ngang qua trên mặt hồ nước đến đậu trên một cảnh cây khác tại vị trí B(4; 0; 4) theo quỹ đạo là một cung tròn hoàn hảo nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt nước đi qua điểm M thỏa mãn $\widehat{AMB} = 135^o$ (Điểm M như hình vẽ bên).
a) Quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng $y=0$.
b) Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm $I\left(\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}\right)$.
c) Khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là 3,58 m (làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Biết rằng vận tốc của con chim bói cá là 2 m/s thì thời gian chim bói cá bay từ điểm A(0; 0; 5) tới điểm gần mặt nước nhất mất 1,5 s (làm tròn đến hàng phần chục).
a) Quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng $y=0$.
b) Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm $I\left(\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}\right)$.
c) Khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là 3,58 m (làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Biết rằng vận tốc của con chim bói cá là 2 m/s thì thời gian chim bói cá bay từ điểm A(0; 0; 5) tới điểm gần mặt nước nhất mất 1,5 s (làm tròn đến hàng phần chục).
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong không gian và kiến thức về đường tròn trong hình học phẳng.
a) Đúng. Hai điểm A, B cùng quỹ đạo bay đều thuộc mặt phẳng y = 0.
b) Sai. Vì quỹ đạo bay nằm trong mặt phẳng y = 0 nên tâm đường tròn chứa quỹ đạo là \(I\left( {{x_I};0;{z_I}} \right)\).
Kẻ đường kính AC. Khi đó \(\widehat {AMC} = {90^o} \Rightarrow \widehat {CMB} = \widehat {AMB} - \widehat {AMC} \)
\(= {135^o} - {90^o} = {45^o}\).
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {CMB} = {45^o}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CB).
Mặt khác, tam giác IAB cân tại I có \(\widehat {IAB} = {45^o}\) nên tam giác IAB vuông cân tại I, hay \(IA \bot IB\).
Hình biểu diễn trên mặt phẳng y = 0:
Ta có \(\overrightarrow {IA} = ( - {x_I};0;5 - {z_I})\), \(\overrightarrow {IB} = (4 - {x_I};0;4 - {z_I})\).
\(IA \bot IB \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} = 0 \)
\(\Leftrightarrow - {x_I}\left( {4 - {x_I}} \right) + \left( {5 - {z_I}} \right)\left( {4 - {z_I}} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow - 4{x_I} + {x_I}^2 + 20 - 9{z_I} + {z_I}^2 = 0\) (*).
A, B thuộc quỹ đạo nên \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {0 - {x_I}} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {5 - {z_I}} \right)^2} = {\left( {4 - {x_I}} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {4 - {z_I}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {x_I}^2 + 25 - 10{z_I} + {z_I}^2 = 16 - 8{x_I} + {x_I}^2 + 16 - 8{z_I} + {z_I}^2\)
\( \Leftrightarrow 8{x_I} - 2{z_I} - 7 = 0 \Leftrightarrow {z_I} = \frac{{8{x_I} - 7}}{2}\). Thay vào (*), ta được:
\( - 4{x_I} + {x_I}^2 + 20 - 9.\frac{{8{x_I} - 7}}{2} + {\left( {\frac{{8{x_I} - 7}}{2}} \right)^2} = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x_I}^2 - 4{x_I} + \frac{{15}}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{5}{2}\\{x_I} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Với \({x_I} = \frac{5}{2}\) thì \({z_I} = \frac{{13}}{2}\). Với \({x_I} = \frac{3}{2}\) thì \({z_I} = \frac{5}{2}\). Mà \({z_I} > {z_A}\) nên \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right)\).
c) Đúng. Bán kính quỹ đạo là:
\(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {5 - \frac{{13}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\) (m).
Khoảng cách ngắn nhất giữa chim bói cá và mặt nước là:
\({z_I} - R = \frac{{13}}{2} - \frac{{\sqrt {34} }}{2} \approx 3,58\) (m).
d) Đúng. Gọi H là điểm mà chim bói cá sát với mặt nước nhất.
Khi đó một vecto chỉ phương của IH là \(\overrightarrow {{u_{IH}}} = \left( {0;0; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {IA} = \left( { - \frac{5}{2};0; - \frac{3}{2}} \right)\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {u_{IH}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {u_{IH}} } }{{IA.\left|\overrightarrow {u_{IH}}\right|}}\)
\(= \frac{{0.\left( { - \frac{5}{2}} \right) + 0.0 - 1.\left( { - \frac{3}{2}} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{5}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\).
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {u_{IH}} } \right) \approx 1,03\) (rad). Độ dài cung nhỏ AH là \({l_{AH}} \approx 1,03.\frac{{\sqrt {34} }}{2} \approx 3\) (m).
Thời gian chim bói cá bay từ A đến H là xấp xỉ \(\frac{3}{2} = 1,5\) (s).
Danh sách bình luận