Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của $\left(C\right)$.
a) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}$.
b) Hàm số có tâm đối xứng $I(-2;1)$.
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right)$ tại điểm $x=1$ là $y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$.
d) Xét tam giác đều $ABI$ có hai đỉnh $A,B$ thuộc $\left(C\right)$, đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $2\sqrt{3}$.
a) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}$.
b) Hàm số có tâm đối xứng $I(-2;1)$.
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right)$ tại điểm $x=1$ là $y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$.
d) Xét tam giác đều $ABI$ có hai đỉnh $A,B$ thuộc $\left(C\right)$, đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $2\sqrt{3}$.
a) Xét dấu y’.
b) Tâm đối xứng của (C) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
c) Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại \(x = {x_0}\) là: \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\).
d) Sử dụng kiến thức về đường phân giác và tam giác đều để tính.
a) Sai. \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0\) \(\forall x \ne - 2\).
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\). Cách viết \(\mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \) là sai.
b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm của hai tiệm cận.
(C) có tiệm cận ngang là y = 1, tiệm cận đứng là x = -2. Vậy I(-2; 1).
c) Đúng. Đặt \(y = f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\). Ta có: \(f'(1) = \frac{1}{3}\); \(f(1) = 0\).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 1 là: \(y = \frac{1}{3}(x - 1) + 0 \Leftrightarrow y= \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\).
d) Đúng. Để tam giác ABI đều, I là tâm đối xứng thì A và B phải đối xứng nhau qua một trong hai đường phân giác \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.
Các đường tiệm cận song song với trục hai trục tọa độ nên góc tạo bởi lần lượt hai đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) với trục Ox là \({45^o}\) và \({135^o}\), do đó hệ số góc của \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) lần lượt là \({k_1} = \tan {45^o} = 1\) và \({k_2} = \tan {135^o} = - 1\).
\({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) đi qua I(-2; 1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:1 = 1.( - 2) + {c_1}\\{\Delta _2}:1 = - 1.( - 2) + {c_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 3\\{c_2} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:y = x + 3\\{\Delta _2}:y = - x - 1\end{array} \right.\).
Ta có \({\Delta _2}\) cắt (C) nên A, B đối xứng qua \({\Delta _2}\).
Gọi H là hình chiếu của A lên đường phân giác d. Trong tam giác đều ABI, góc giữa đường thẳng IA và đường phân giác d phải là \({30^o}\).
Sử dụng công thức cosin góc giữa đường thẳng IA và d: \(\cos {30^o} = \frac{{\left| {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IA} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\).
\({\Delta _2}\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = (1; - 1)\).
Vì A thuộc (C) nên \(A\left( {{x_A};\frac{{{x_A} - 1}}{{{x_A} + 2}}} \right)\); \(\overrightarrow {IA} = \left( {{x_A} + 2;\frac{{{x_A} - 1}}{{{x_A} + 2}} - 1} \right) = \left( {{x_A} + 2;\frac{{ - 3}}{{{x_A} + 2}}} \right)\).
Đặt \(t = {x_A} + 2 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {t;\frac{{ - 3}}{t}} \right)\).
Suy ra \(\cos {30^o} = \frac{{\left| {t.1 + \left( { - \frac{3}{t}} \right).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} .\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {t + \frac{3}{t}} \right|}}{{\sqrt {2\left( {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} \right)} }}\).
Bình phương hai vế: \(\frac{3}{4} = \frac{{{{\left( {t + \frac{3}{t}} \right)}^2}}}{{2\left( {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} \right)}} \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \frac{{{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}} + 6}}{{2\left( {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} \right)}}\).
Đặt \(u = {t^2} + \frac{9}{{{t^2}}} = {t^2} + {\left( {\frac{{ - 3}}{t}} \right)^2} = I{A^2}\). Ta có phương trình:
\(\frac{3}{4} = \frac{{u + 6}}{{2u}} \Rightarrow 6u = 4u + 24 \Rightarrow 2u = 24 \Rightarrow u = 12\).
Vậy \(I{A^2} = 12\). Vì tam giác ABI đều nên cạnh \(AB = IA = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).
Danh sách bình luận