Đề bài

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, $\left( {- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}} \right)$, mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $\sqrt{3 - x^{2}}\,$. Thể tích của vật thể đã cho bằng

• A. $\sqrt{3}$.
• B. $4\sqrt{3}$.
• C. $4\pi\sqrt{3}$.
• D. $\pi\sqrt{3}$.

Phương pháp giải

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Diện tích của mặt cắt hình vuông là \(S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - {x^2}} } \right)^2} = 3 - {x^2}\).

Thể tích của vật thể đã cho là:

\(V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {3 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } = \left( {2\sqrt 3  + 2\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 \).

Đáp án : B