Trong mặt phẳng tọa độ, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí A(4; 4). Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng có phương trình: x – y – 3 = 0. Khi đặt máy tại vị trí M(a; b) sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất. Tính a + b.
Gọi \(d:x - y - 3 = 0\).
Để nhận được tín hiệu sớm nhất thì M gần vị trí A nhất.
Vì \(M \in d\) nên M gần vị trí A nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng d.
Gọi \(d:x - y - 3 = 0\).
Để nhận được tín hiệu sớm nhất thì M gần vị trí A nhất.
Vì \(M \in d\) nên M gần vị trí A nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng d.
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm A và \(\Delta \bot d\).
Vì một VTPT của d có tọa độ (1; -1) nên một VTCP của d có tọa độ (1; 1), đồng thời là VTPT của \(\Delta\) do \(\Delta \bot d\).
Suy ra phương trình \(\Delta \) có dạng: \(x + y + c = 0\) \((c \in \mathbb{R})\).
\(\Delta \) đi qua điểm A(4; 4) nên \(4 + 4 + c = 0 \Rightarrow c = - 8\). Suy ra \(\Delta \) có dạng: \(x + y - 8 = 0\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in \Delta \end{array} \right. \Rightarrow M = d \cap \Delta \).
Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y - 8 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Vậy máy thu đặt ở vị trí \(M\left( {\frac{{11}}{2};\frac{5}{2}} \right)\) sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất.
Suy ra \(a = \frac{{11}}{2}b = \frac{5}{2} \Rightarrow a + b = 8\).
Danh sách bình luận