Đề bài

a) Tính tổng các nghiệm của phương trình sau: $\sqrt{x^{2} + 2x + 4} = \sqrt{2 - x}$.

b) Tìm m để bất phương trình $x^{2} - \left( {2m - 2} \right)x + m(m + 4) \geq 0$, $\forall x \in {\mathbb{R}}$.

Phương pháp giải

a) Bình phương hai vế.

b) \(f(x) \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \le 0\\a > 0\end{array} \right.\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \ge 0}\\{{x^2} + 2x + 4 = 2 - x}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \ge 0}\\{{x^2} + 2x + 4 = 2 - x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 2}\\{{x^2} + 3x + 2 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 2}\\{\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.}\end{array} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.} \right.\).

b) \({x^2} - (2m - 2)x + m(m + 4) \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 > 0}\\{\Delta ' = {{(m - 1)}^2} - m(m + 4) \le 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 > 0,\forall m}\\{\Delta ' =  - 6m + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m \ge \frac{1}{6}\).

Vậy \(m \in \left[ {\frac{1}{6}; + \infty } \right)\).