Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{ABC} = 60^{o}$. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng $SO\bot(ABCD)$, $SO = \dfrac{3a}{4}$. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)?

Phương pháp giải

Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ M đến (P), kí hiệu d(M, (P)).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi I là hình chiếu của O trên CD, H là hình chiếu của O trên SI.

Thấy rằng \(CD \bot (SOI)\) nên \(CD \bot OH\). Mà \(OH \bot SI\) nên \(OH \bot (SCD)\).

Suy ra \(d(O,(SCD)) = OH\).

Vì \(AB = BC\), \(\widehat {ABC} = {60^o}\) nên tam giác ABC đều.

Suy ra \(OB = OD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(OA = OC = \frac{a}{2}\).

Xét tam giác vuông DOC có \(OI = \frac{{OB.OC}}{{OD}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác vuông SOI có:

\(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);

\(OH = \frac{{SO.OI}}{{SI}} = \frac{{\frac{{3a}}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{3a}}{8}\).