Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, gọi $G_{1},G_{2}$ là trọng tâm của các tam giác $A'BD$, $B'D'C$.

a) Chứng minh rằng: $\left( {A'BD} \right)\,\text{//}\,\left( {B'D'C} \right)$.

b) Chứng minh rằng $G_{1},G_{2}$ cùng thuộc $AC'$ và chia $AC'$ thành ba đoạn bằng nhau.

Phương pháp giải

a) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nếu trong (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng song song với (Q).

b) Áp dụng tính chất trọng tâm để suy ra các đoạn thẳng tỉ lệ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) A'D'CB là hình bình hành suy ra \(A'B//CD' \Rightarrow A'B//(B'D'C)\). (1)

Tương tự, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'B'//CD}\\{A'B' = CD}\end{array}} \right. \Rightarrow A'B'CD\) là hình bình hành.

Suy ra \(A'D//B'C \Rightarrow A'D//(B'D'C)\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \((A'BD)//(B'D'C)\).

b) Ta có \({G_1}\) là trọng tâm tam giác AB'D nên \(\frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {G_1}\) là trọng tâm tam giác A'AC, suy ra \({G_1} = AI \cap A'O\). (3)

Tương tự, \({G_2}\) là trọng tâm tam giác B'D'C nên \(\frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}\Rightarrow {G_2}\) là trọng tâm tam giác A'C'C, suy ra \({G_2} = C'I \cap CO'\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \({G_1},{G_2}\) cùng thuộc AC'.

Lại có \(\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{A{G_1}}}{{AC'}} = \frac{1}{3}\), \(\frac{{C'{G_2}}}{{C'I}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{C'{G_2}}}{{AC'}} = \frac{1}{3}\).

Do vậy \(A{G_1} = {G_1}{G_2} = {G_2}C' = \frac{1}{3}AC'\).

Vậy \({G_1},{G_2}\) cùng thuộc AC', đồng thời chia AC' thành ba phần bằng nhau.