Đề bài

Cho hình vuông $C_{1}$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_{2}$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_{2}$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}.$ Gọi $S_{i}$ là diện tích của hình vuông $C_{i}$ $\left( {i \in \left\{ {1,2,3,...,n} \right\}} \right).$

a) Tính cạnh của hình vuông $C_{2}.$

b) Tính $\lim\limits_{n\rightarrow\, + \,\infty}\dfrac{2025}{a^{2}}\left( {S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}} \right).$

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Cạnh của hình vuông $C_1$ là $a$ Do đó $S_1 = a^2$.

Cạnh của hình vuông $C_2$ là $\sqrt{\left( \frac{3a}{4} \right)^2 + \left( \frac{a}{4} \right)^2} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$.

b) Do đó $S_2 = \frac{10}{16} a^2 = \frac{10}{16} S_1$.

Tương tự ta có $S_3 = \frac{10}{16} S_2; \ldots ; S_n = \frac{10}{16} S_{n-1}$.

Khi đó $S_1 + S_2 + \ldots + S_n = S_1 \left[ 1 + \frac{10}{16} + \left( \frac{10}{16} \right)^2 + \ldots + \left( \frac{10}{16} \right)^{n-1} \right]$.

Suy ra $\lim_{n \to +\infty} \frac{2025}{a^2} \left( S_1 + S_2 + \ldots + S_n \right) = \frac{2025}{a^2} . \frac{a^2}{1 - \frac{10}{16}} = \frac{2025}{a^2} . \frac{8}{3} . a^2 = 5400$.