Đề bài

Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m, chiều rộng chân đế 12 m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\dfrac{AB}{CD}$ bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình parabol.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng \(y = a.{x^2}\) \(\left( P \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( { - 6; - 18} \right)\) suy ra: \( - 18 = a.{\left( { - 6} \right)^2} \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{2}\)

 \( \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\).

Từ hình vẽ ta có: \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng \(AB:y =  - \frac{1}{2}x_1^2\) là:

\({S_1} = 2\int\limits_0^{{x_1}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_1^2} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\(\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_1^2x} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng \(CD\) \(y =  - \frac{1}{2}x_2^2\) là:

\({S_2} = 2\int\limits_0^{{x_2}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_2^2} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\(\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_2^2x} \right)} \right|_0^{{x_2}} = \frac{2}{3}x_2^3\).

Từ giả thiết suy ra \({S_2} = 2{S_1} \Leftrightarrow x_2^3 = 2x_1^3\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\). Vậy \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).