Cho hàm số $y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{x + d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng điểm O(0; 0) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
a) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x + 1.
b) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là T(2; 4).
c) Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty} \right)$.
d) Gọi A, B là hai điểm di động trên đồ thị hàm số sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B luôn song song với nhau. Khi khoảng cách từ điểm M(4; 1) đến đường thẳng AB lớn nhất thì độ dài đoạn thẳng AB bằng $2\sqrt{5}$.
a) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x + 1.
b) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là T(2; 4).
c) Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty} \right)$.
d) Gọi A, B là hai điểm di động trên đồ thị hàm số sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B luôn song song với nhau. Khi khoảng cách từ điểm M(4; 1) đến đường thẳng AB lớn nhất thì độ dài đoạn thẳng AB bằng $2\sqrt{5}$.
a) Từ các điểm thuộc tiệm cận xiên, lập hệ phương trình để tìm phương trình đường tiệm cận xiên.
b) Tìm tâm đối xứng của đồ thị, từ đó suy ra tọa độ của điểm cực tiểu.
c) Quan sát hướng đi của đồ thị để suy ra tính đơn điệu.
d) Xác định hệ số a, b, c, d của hàm số. Gọi I là trung điểm của AB và chứng minh I cố định, suy ra \(\max \left[ {d\left( {M,AB} \right)} \right] = MI\) khi \(MI \bot AB\). Lập phương trình đường thẳng AB, tìm tọa độ AB và tính độ dài AB.
a) Đúng. Giả sử tiệm cận xiện của đồ thị có phương trình \(y = mx + n\). Tiệm cận xiên đó đi qua các điểm có tọa độ (-1; 0) và (0; 1) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 = - 1m + n\\1 = 0m + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow y = x + 1\).
b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận xiên y = x + 1 và tiệm cận đứng x = 1. Do đó, tâm đối xứng là điểm I(1; 2).
Vì tâm đối xứng của đồ thị cách đều hai cực trị nên điểm cực tiểu có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 - 0 = 2\\2.2 - 0 = 4\end{array} \right.\).
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(T\left( {2;4} \right)\).
c) Sai. Quan sát trên \(\left( {1; + \infty } \right)\), đồ thị có đi xuống từ trái sang phải nên hàm số không đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
d) Đúng. Ta có hàm số của đồ thị trên là \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x - 1}}\).
Đồ thị đi qua O(0; 0) nên ta có \(0 = \frac{{a{{.0}^2} + b.0 + c}}{{0 - 1}} \Rightarrow c = 0\).
Có \(y = \frac{{a{x^2} + bx}}{{x - 1}} = ax + a + b + \frac{{a + b}}{{x - 1}}\), mà tiệm cận xiên của đồ thị là y = x + 1 nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\).
Vậy hàm số có đồ thị trên là \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\), đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\).
Gọi I là trung điểm của AB. Vì các tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên \(y{'_{{x_A}}} = y{'_{{x_B}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x_A}^2 - 2{x_A}}}{{{{({x_A} - 1)}^2}}} = \frac{{{x_B}^2 - 2{x_B}}}{{{{({x_B} - 1)}^2}}} \Leftrightarrow \frac{{{x_A}^2 - 2{x_A} + 1 - 1}}{{{{({x_A} - 1)}^2}}} = \frac{{{x_B}^2 - 2{x_B} + 1 - 1}}{{{{({x_B} - 1)}^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{({x_A} - 1)}^2}}} = 1 - \frac{1}{{{{({x_B} - 1)}^2}}} \Leftrightarrow {({x_A} - 1)^2} = {({x_B} - 1)^2} \Leftrightarrow {x_A} - 1 = \pm ({x_B} - 1)\).
Loại \({x_A} - 1 = {x_B} - 1\) vì khi đó A trùng B. Suy ra \({x_A} - 1 = 1 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 2 \Leftrightarrow {x_I} = 1\).
Xét \({y_A} + {y_B} = \frac{{{x_A}^2}}{{{x_A} - 1}} + \frac{{{{(2 - {x_A})}^2}}}{{(2 - {x_A}) - 1}} = \frac{{{x_A}^2 - {{(2 - {x_A})}^2}}}{{{x_A} - 1}} = \frac{{4{x_A} - 4}}{{{x_A} - 1}} = 4 \Leftrightarrow {y_I} = 2\).
Vậy trung điểm I(1; 2) của đoạn thẳng AB là một điểm cố định.
Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Khi đó \(d\left( {M,AB} \right) = MH \le MI\). Dấu “=” xảy ra khi \(MI \bot AB\).
Đường thẳng AB qua I(1; 2), nhận \(\overrightarrow {IM} = (3; - 1)\) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình:
\(3(x - 1) - 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 3x - 1\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) và đường thẳng AB là:
\(\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = 3x - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{{2 \pm \sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(A\left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2};\frac{{4 + 3\sqrt 2 }}{2}} \right)\) và \(B\left( {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2};\frac{{4 - 3\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
\(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4 - 3\sqrt 2 }}{2} - \frac{{4 + 3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).
Danh sách bình luận