Cho hàm số $f(x) = \log_{3}\left( {2x - 3} \right)$.
a) Tập xác định của hàm số là $\left\lbrack {\dfrac{3}{2}; + \infty} \right)$.
b) $f'(x) = \dfrac{2}{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}$, $\forall x \in \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty} \right)$.
c) Phương trình $f(x) = \log_{3}\left( {x^{2} - x - 1} \right)$ có hai nghiệm phân biệt.
d) Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $f(x) \leq 4$. Tổng tất cả các phần tử của S bằng 903.
a) Tập xác định của hàm số là $\left\lbrack {\dfrac{3}{2}; + \infty} \right)$.
b) $f'(x) = \dfrac{2}{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}$, $\forall x \in \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty} \right)$.
c) Phương trình $f(x) = \log_{3}\left( {x^{2} - x - 1} \right)$ có hai nghiệm phân biệt.
d) Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $f(x) \leq 4$. Tổng tất cả các phần tử của S bằng 903.
a) ĐKXĐ của hàm số logarit \(y = {\log _a}f(x)\): \(f(x) > 0\).
b) Công thức đạo hàm của hàm số logarit: \(\left[ {{{\log }_a}f(x)} \right]' = \frac{{f'(x)}}{{f(x)\ln a}}\).
c) Giải phương trình \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\), đối chiếu với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm.
d) Giải bất phương trình \(f\left( x \right) \le 4\), tìm các phần tử thuộc S rồi áp dụng công thức \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\) để tính tổng.
a) Sai. ĐKXĐ: \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\). Vậy tập xác định của hàm số là \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
b) Đúng. \(f'\left( x \right) = \frac{{(2x - 3)'}}{{(2x - 3)\ln 3}} = \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}}\), \(\forall x \in \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
c) Sai. \(f(x) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = {x^2} - x - 1\\x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\\x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\).
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.
d) Sai. \(f\left( x \right) \le 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) \le 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\2x - 3 \le {3^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x \le 42\).
Do đó S = {2; 3; …; 42}, gồm \(\frac{{42 - 2}}{1} + 1 = 41\) phần tử.
Tổng các phần tử của S là: \(2 + 3 + ... + 42 = \frac{{(2 + 42)}}{2}.41 = 902\).
Danh sách bình luận