Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng a, $\widehat{A^{\prime}AB} = 120^{\text{o}}$, $\widehat{A^{\prime}AC} = 60^{\text{o}}$. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thỏa mãn $\overset{\rightarrow}{BN} = \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{BB^{\prime}}$.
a) Giả sử $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}M} = x.\overset{\rightarrow}{AB} + y.\overset{\rightarrow}{AC} + z.\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}$ thì $x + y = z$.
b) $\overset{\rightarrow}{NB} = - 2\overset{\rightarrow}{NB^{\prime}}$.
c) $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{CC^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AB^{\prime}}$.
d) $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}M}.\overset{\rightarrow}{C^{\prime}N} = \dfrac{4a^{2}}{3}$.
a) Giả sử $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}M} = x.\overset{\rightarrow}{AB} + y.\overset{\rightarrow}{AC} + z.\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}$ thì $x + y = z$.
b) $\overset{\rightarrow}{NB} = - 2\overset{\rightarrow}{NB^{\prime}}$.
c) $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{CC^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AB^{\prime}}$.
d) $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}M}.\overset{\rightarrow}{C^{\prime}N} = \dfrac{4a^{2}}{3}$.
Áp dụng khái niệm hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, góc giữa hai vecto, tích vô hướng của hai vecto.
a) Sai. \(\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} \).
Vậy \(x + y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = - ( - 1) = - z\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \Rightarrow BN = \frac{2}{3}BB \Rightarrow NB = 2NB'\).
Mà \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NB'} \) ngược chiều nên \(\overrightarrow {NB} = - 2\overrightarrow {NB'} \).
c) Đúng. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AB'} \).
d) Đúng. \(\overrightarrow {C'N} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AC} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {C'N} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{C^2} + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}AA{'^2}\)
\( = \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{4}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{{12}}{a^2} - \frac{1}{{12}}{a^2} + \frac{1}{3}{a^2} = \frac{4}{3}{a^2}\).
Danh sách bình luận