Đề bài

Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 8 m và chiều cao là 3 m. Cửa vào lều là hình thang EFGH trong đó AE = FB và EF = 4 m. Gọi G, H lần lượt là trung điểm của SF và SE. Một nguồn sáng đặt cách đỉnh S 1 m ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một vùng được chiếu sáng EFG’H’. Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu  (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp, tìm tọa độ các điểm E, F, G’, H’ rồi áp dụng công thức tính diện tích hình thang để tính diện tích vùng chiếu sáng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho D trùng gốc tọa độ O, A thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, S có cao độ dương.

Khi đó D(0; 0; 0), A(8; 0; 0), B(8; 8; 0), C(0; 8; 0), S(4; 4; 3), I(4; 4; 2).

\(AE = FB = \frac{{AB - EF}}{2} = \frac{{8 - 4}}{2} = 2\), do đó E(8; 2; 0), F(8; 6; 0).

H là trung điểm của SE nên \(H\left( {6;3;\frac{3}{2}} \right)\), G là trung điểm của SF nên \(G\left( {6;5;\frac{3}{2}} \right)\).

Đường thẳng IH đi qua I, nhận \(\overrightarrow {IH}  = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\) làm vecto chỉ phương nên có phương trình tham số:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 4 - t\\z = 2 - \frac{1}{2}t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

IH giao với mặt phẳng đáy tại \(0 = 2 - \frac{1}{2}t \Leftrightarrow t = 4\). Suy ra H’(12; 0; 0).

Đường thẳng IG đi qua I, nhận \(\overrightarrow {IG}  = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right)\) làm vecto chỉ phương nên có phương trình tham số:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 4 + t\\z = 2 - \frac{1}{2}t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

IH giao với mặt phẳng đáy tại \(0 = 2 - \frac{1}{2}t \Leftrightarrow t = 4\). Suy ra G’(12; 8; 0).

Biểu diễn trên mặt phẳng (Oxy):

Diện tích hình thang EFG’H’ là: \({S_{EFG'H'}} = \frac{1}{2}(EF + G'H').d(EF,G'H') = \frac{1}{2}.(4 + 8).4 = 24\).