Đề bài

Một bể bơi hình bán nguyệt có đường kính là AB = 100 m. Một người muốn bơi từ vị trí A đến vị trí C theo phương thẳng rồi lên bờ đi bộ từ C đến B. Biết rằng vận tốc bơi là 5 km/h và vận tốc đi bộ là 6 km/h. Hỏi thời gian tối đa để người đó hoàn thành lộ trình như trên là bao nhiêu phút? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Tính độ dài đoạn thẳng AC và cung BC bằng các hệ thức lượng giác. Lập hàm số biểu diễn thời gian hoàn thành lộ trình. Tính đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đổi: 100 m = 0,1 km.

Giả sử \(\widehat {CAB} = \alpha  \Rightarrow \widehat {COB} = 2\alpha \) và số đo cung BC bằng \(2\alpha \) (\(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\), đơn vị: rad).

Xét tam giác ACB vuông tại C, có: \(\cos \widehat {CAB} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

\(\Rightarrow AC = AB\cos \widehat {CAB} = 0,1\cos \alpha \).

Độ dài cung BC là:

\({l_{BC}} = \frac{{AB}}{2}.2\alpha  = 0,1\alpha \).

Thời gian người đó hoàn thành lộ trình là:

\(T(\alpha ) = \frac{{0,1\cos \alpha }}{5} + \frac{{0,1\alpha }}{6}\) (giờ).

\(T'(\alpha ) = \frac{{ - 0,1\sin \alpha }}{5} + \frac{{0,1}}{6} = 0 \Leftrightarrow \sin \alpha  = \frac{5}{6} \Rightarrow \alpha  = \arcsin \frac{5}{6}\).

Ta có \(T(0) = \frac{1}{{50}} = 0,02\), \(T\left( {\arcsin \frac{5}{6}} \right) \approx 0,027\), \(T\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{{120}} \approx 0,026\).

Vậy thời gian tối đa người đó hoàn thành lộ trình là \(T\left( {\arcsin \frac{5}{6}} \right).60 \approx 1,65\) (phút).