Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Gọi T là tập hợp tất cả các điểm M(x; y), trong đó \(x,y \in \mathbb{Z}\), sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm) thỏa mãn \(\widehat {AMB} \ge {60^{\rm{o}}}\). Chọn ngẫu nhiên 2 điểm trong T. Biết xác suất để đường thẳng đi qua 2 điểm được chọn song song với trục Ox bằng \(\frac{1}{a}\). Tính \({a^2}\).

Phương pháp giải

Dựa vào giả thiết tìm các điểm M thỏa mãn. Xét trong các điểm M đó tạo thành được bao nhiêu đường thẳng và bao nhiêu trong số đó song song với Ox. Áp dụng công thức xác suất cổ điển để tính.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Vì từ M(x; y) kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) nên M nằm ngoài đường tròn (C).

Có \(\widehat {AMB} \ge {60^o} \Leftrightarrow \widehat {OMB} \ge {30^o} \Leftrightarrow \sin \widehat {OMB} \ge \sin {30^o} \Leftrightarrow \frac{{OB}}{{OM}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow OM \le 2OB = 2.1 = 2\).

Suy ra M có thể nằm trên hoặc bên trong đường tròn tâm O, bán kính bằng 2.

Mà x, y nguyên nên có 8 điểm M thỏa mãn với tọa độ:

(2; 0), (0; 2), (-2; 0), (0; -2), (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1).

Từ 8 điểm trên, ta kẻ được \(C_8^2 = 28\) đường thẳng, trong đó có 2 đường thẳng song song với  trục Ox là y = 1 và y = -1.

Vậy xác suất để đường thẳng đi qua 2 điểm được chọn song song với Ox bằng \(\frac{2}{{28}} = \frac{1}{{14}} \Rightarrow {a^2} = {14^2} = 196\).