Đề bài

Cho tứ diện ABCD có AB = 4, \(AC = AD = CD = 2\sqrt 3 \), \(BC = BD = \sqrt 7 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Tìm đoạn vuông góc chung của AB và CD và tính độ dài đoạn thẳng đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi M là trung điểm của CD. Lấy điểm N thuộc AB sao cho \(MN \bot AB\).

Vì AC = AD nên tam giác ACD cân tại A. Khi đó \(AM \bot CD\) (1)

Vì BC = BD nên tam giác BCD cân tại B. Khi đó \(BM \bot CD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot (ABM)\), mà \(MN \subset (ABM) \Rightarrow CD \bot MN\).

Như vậy MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, suy ra \(d\left( {AB,CD} \right) = MN\).

Vì \(AC = AD = CD = 2\sqrt 3 \) nên tam giác ACD đều, do đó \(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.2\sqrt 3  = 3\).

Xét tam giác BCM vuông tại M: \(BM = \sqrt {B{C^2} - C{M^2}}  = \sqrt {7 - 3}  = 2\) (định lí Pythagore).

Nửa chu vi tam giác AMB là \(p = \frac{{2 + 3 + 4}}{2} = 4,5\).

Diện tích tam giác AMB: \({S_{ABM}} = \sqrt {4,5.(4,5 - 2).(4,5 - 3).(4,5 - 4)}  = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}\).

Mặt khác \({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.MN \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt {15} }}{4} = \frac{1}{2}.4.MN \Leftrightarrow MN = \frac{{3\sqrt {15} }}{8} \approx 1,45\).

Vậy \(d\left( {AB,CD} \right) = MN \approx 1,45\).