Đề bài

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a thuộc \(\left[ {\pi ;10\pi } \right]\) sao cho \(\int\limits_0^a {\cos xdx} = \frac{1}{2}\). Số phần tử của S là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc tính tích phân của hàm số lượng giác và công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Tìm số giá trị của a thuộc \(\left[ {\pi ;10\pi } \right]\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

\(\int\limits_0^a {\cos xdx} {\rm{\;}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^a}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin a - \sin 0 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sin a = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\a = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Vì \(a \in \left[ {\pi ;10\pi } \right]\) nên ta có:

TH1: \(\pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{59}}{{12}} \Rightarrow \) Các giá trị k nguyên thỏa mãn là \(k \in \{ 1;2;3;4\} \), do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.

TH2: \(\pi \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{55}}{{12}} \Rightarrow \) Các giá trị k nguyên thỏa mãn là \(k \in \{ 1;2;3;4\} \), do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.

Vậy S có 8 phần tử.

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tính tích phân \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^2}}}} dx\) có giá trị bằng:

A. \(\frac{1}{6}\)

B. \( - \frac{1}{6}\)

C. \(\frac{{19}}{{648}}\)

D. \( - \frac{{19}}{{648}}\)

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} {\sin xdx} \) có giá trị bằng:

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx} \) có giá trị bằng:

A. \( - \frac{1}{{\ln 3}}\)

B. \(\frac{1}{{\ln 3}}\)

C. -1

D. 1

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Tính:

a) \(\int\limits_0^1 {({x^6} - 4{x^3} + 3{x^2})dx} \)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^4}}}dx} \)

c) \(\int\limits_1^4 {\frac{1}{{x\sqrt x }}dx} \)

d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(4\sin x + 3\cos x)dx} \)

e) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}xdx} \)

g) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx} \)

h) \(\int\limits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx} \)

i) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {{e^{x + 2}}dx} \)

k) \(\int\limits_0^1 {({{3.4}^x} - 5{e^{ - x}})dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 5 :

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi \(t \in [a;b]\). Hãy giải thích vì sao \(\int\limits_a^b {v(t)dt} \) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a,b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sint (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (s).

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Ở nhiệt độ \(37^\circ C\), một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: \(A \to B\). Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol \({L^{ - 1}}\)) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với \(x \ge 0\), thỏa mãn hệ thức \(y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)\) với \(x \ge 0\). Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol \({L^{ - 1}}\).

a) Xét hàm số \(f(x) = \ln y(x)\) với \(x \ge 0\). Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol \({L^{ - 1}}\)) từ thời điểm a(giây) đến thời điểm b(giây) với 0 < a < b theo công thức \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {y(x)dx} \). Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_1^2 {{x^4}dx} \)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

d) \(\int\limits_0^2 {{3^x}dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}dx} \);

b) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {\left( {{3^x} - 2{e^x}} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}}{{2{e^x}}}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int\limits_a^b {\sin xdx} = \sin a - \sin b\).

B. \(\int\limits_a^b {\sin xdx} = \sin b - \sin a\).

C. \(\int\limits_a^b {\sin xdx} = \cos a - \cos b\).

D. \(\int\limits_a^b {\sin xdx} = \cos b - \cos a\).

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\).

A. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \cot a - \cot b\).

B. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \cot b - \cot a\).

C. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \tan a - \tan b\).

D. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \tan b - \tan a\).

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Tích phân \(\int\limits_1^2 {\frac{{ - 3}}{{{x^3}}}dx} \) có giá trị bằng:

A. \(\frac{9}{8}\).

B. \( - \frac{{45}}{{64}}\).

C. \(\frac{{15}}{8}\).

D. \( - \frac{9}{8}\).

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Tích phân \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{x\sqrt x }}dx} \) có giá trị bằng:

A. \(2 - \sqrt 2 \).

B. \(2 + \sqrt 2 \).

C. \(\frac{{ - \sqrt 2 + 8}}{{20}}\).\

D. \(\frac{{ - \sqrt 2 - 8}}{{20}}\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int\limits_a^b {\cos xdx} = \sin a - \sin b\).

B. \(\int\limits_a^b {\cos xdx} = \sin b - \sin a\).

C. \(\int\limits_a^b {\cos xdx} = \cos a - \cos b\).

D. \(\int\limits_a^b {\cos xdx} = \cos b - \cos a\).

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\).

A. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \cot a - \cot b\).

B. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \cot b - \cot a\).

C. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan a - \tan b\).

D. \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan b - \tan a\).

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho \(m\) thoả mãn \(m > 0,m \ne 1\). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int\limits_a^b {{m^x}dx} = {m^b} - {m^a}\).

B. \(\int\limits_a^b {{m^x}dx} = {m^a} - {m^b}\).

C. \(\int\limits_a^b {{m^x}dx} = \frac{{{m^b}}}{{\ln m}} - \frac{{{m^a}}}{{\ln m}}\).

D. \(\int\limits_a^b {{m^x}dx} = \frac{{{m^a}}}{{\ln m}} - \frac{{{m^b}}}{{\ln m}}\).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Tính:

a) \(\int\limits_0^1 { - 2dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{3}dx} \);

c) \(\int\limits_0^1 {{x^4}dx} \);

d) \(\int\limits_1^3 {2\sqrt[3]{x}dx} \);

e) \(\int\limits_1^2 {\frac{2}{{3x}}dx} \);

g) \(\int\limits_1^9 {\left( {x\sqrt x - 2} \right)dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Tính:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \);

b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos xdx} \);

c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \);

d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \);

e) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - 2} \right)dx} \);

g) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3\cos x + 2} \right)dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Tính:

a) \(\int\limits_0^2 {{e^{ - 5{\rm{x}}}}dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {{3^{x + 2}}dx} \);

c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{3^{2{\rm{x}}}}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^2 {\left( {3x - 2} \right)\left( {3x + 2} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_1^2 {{t^2}\left( {5{t^2} - 2} \right)dt} \);

c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{1 - 2{\rm{x}}}}{{{x^2}}}dx} \);

b) \(\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}dx} \);

c) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_1^3 {{e^{x - 2}}dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}dx} \);

c) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^\pi {\left( {2\cos x + 1} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^\pi {\left( {1 + \cot x} \right)\sin xdx} \);

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx} \).

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt x - 1}}{x},x > 0\). Tính giá trị của \(f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \sqrt {4x + 1} \). Từ đó, tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Tính:

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \);

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \);

c) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \);

d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Tính

a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)

b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)

Xem lời giải >>