Đề bài

Cho dãy số \(({U_n})\) xác định bởi \({U_1} = \frac{1}{3}\) và \({U_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}{U_n}\). Tổng \(S = {U_1} + {U_2} + {U_3} + ... + {U_{10}}\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải

Đặt \({V_n} = \frac{{{U_n}}}{n}\). Chứng minh \(({V_n})\) là cấp số nhân và tính S là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân \(({V_n})\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Ta có \({U_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}{U_n} \Leftrightarrow \frac{{{U_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{3}.\frac{{{U_n}}}{n}\) (1)

Đặt \({V_n} = \frac{{{U_n}}}{n} \Rightarrow {V_{n + 1}} = \frac{{{U_{n + 1}}}}{{n + 1}}\).

(1) trở thành \({V_{n + 1}} = \frac{1}{3}.{V_n}\). Khi đó \(({V_n})\) trở thành cấp số nhân với \({V_1} = \frac{{{U_1}}}{1} = \frac{1}{3}\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\).

\(S = {U_1} + \frac{{{U_2}}}{2} + ... + \frac{{{U_{10}}}}{{10}} = {V_1} + {V_2} + ... + {V_{10}} = \frac{1}{3}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 0,5\).

Mở rộng

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

\({u_n} = {u_{n - 1}}.q\) với \(n \ge 2\).

Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, ta chứng minh tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}\) không đổi.

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó:

\({S_n} = \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}({q^n} - 1)}}{{q - 1}}\).