Đề bài

Cho $a, b$ là các số thực dương khác $1$ và thỏa mãn \({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

• A. \(a = \dfrac{1}{b}\)    
• B. $a{\rm{ }} = {\rm{ }}b$
• C. \(a = \dfrac{1}{{{b^2}}}\)
• D. $a{\rm{ }} = {\rm{ }}{b^2}$

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) có\({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}({\log _a}b + {\log _b}a) = 1 \Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = 2\)

- Sử dụng định lý Viets đảo: Cho hai số $u, v$ thỏa mãn $u + v = S$ và $uv = P$ thì $u, v$ là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}({\log _a}b + {\log _b}a) = 1 \Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = 2\)

Vì \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\)  nên \({\log _a}b,{\log _b}a\) là nghiệm của phương trình\({x^2} - 2x + 1 = 0\). Suy ra  \({\log _a}b = {\log _b}a = 1\)  hay \(a = b\).

Đáp án : B