Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là \(1600\pi \) \((c{m^2})\), chiều dài của trống là 1 m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Gắn hệ trục tọa Oxy ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình Parabol thông qua các điểm đồ thị đi qua. Từ đó áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay để tính thể tích trống.
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.
Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn bán kính r, diện tích \(1600\pi \) \((c{m^2})\). Do đó \(\pi {r^2} = 1600\pi \Rightarrow r = 40\) (cm).
Giả sử Parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\), đỉnh I(0; 40), đi qua điểm A(50; 30). Ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}30 = a{.50^2} + b.50 + c\\40 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{250}}\\b = 0\\c = 40\end{array} \right.\)
Vậy Parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40\).
Thể tích trống là: \(V = \pi \int\limits_{ - 50}^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}dx} = \frac{{406000}}{3}\pi \) \((c{m^3}) \approx 425\) (lít).
a) Khối tròn xoay quanh trục Ox
Cho hàm số f(x), g(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).
b) Khối tròn xoay quanh trục Oy
Cho hàm số f(x), g(x) liên tục với mọi \(y \in [c,d]\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là
\(V = \pi \int\limits_c^d {{f^2}(y)dy} \).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|dy} \).
Danh sách bình luận