Đề bài

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho $\Delta ABC$ với A(-2; 5), B(-4; -2), C(1; 5). Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

a) Toạ độ vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = 2\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC}$ là (1; 14).

Đúng

Sai

b) Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là $\left( {- \dfrac{5}{3}; - \dfrac{8}{3}} \right)$ .

Đúng

Sai

c) Độ dài $AB = \sqrt{53}$ .

Đúng

Sai

d) $\text{cos}\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{CG}} \right) > 0,8$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Toạ độ vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = 2\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC}$ là (1; 14).

Đúng

Sai

b) Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là $\left( {- \dfrac{5}{3}; - \dfrac{8}{3}} \right)$ .

Đúng

Sai

c) Độ dài $AB = \sqrt{53}$ .

Đúng

Sai

d) $\text{cos}\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{CG}} \right) > 0,8$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).

b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\); \({y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\).

c) Nếu \(\overrightarrow a = (x;y)\) thì \(\left| {\overrightarrow a} \right| = \sqrt {\overrightarrow a.\overrightarrow a}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

d) Cho \(\overrightarrow u (x;y)\) và \(\overrightarrow v  = (x';y')\).

\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\).

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 7)\), \(\overrightarrow {AC}  = (3;0)\). Khi đó:

\(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \left( { - 2.2 + 3; - 7.2 + 0} \right) = \left( { - 1; - 14} \right)\).

b) Sai. \(G = \left( {\frac{{ - 2 - 4 + 1}}{3};\frac{{5 - 2 + 5}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)\).

c) Đúng. \(AB = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 7)}^2}}  = \sqrt {53} \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {CG}  = \left( {\frac{{ - 8}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right) \Rightarrow CG = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {113} }}{3}\).

\({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CG} }}{{AB.CG}} = \frac{{ - 2.\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right) - 7.\left( {\frac{{ - 7}}{3}} \right)}}{{\sqrt {53} .\frac{{\sqrt {113} }}{3}}} \approx 0,84\).