Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_n$ là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ $n$.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(h_n)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $(h_n)$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $(h_n)$.
Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}$.
Áp dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số.
a) Theo đề bài ta có, $h_n = \frac{1}{4} h_{n-1}$ nên $(h_n)$ là một cấp số nhân với $h_1 = \frac{1}{4} . 100 = 25$ và công bội $q = \frac{1}{4}$.
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số $(h_n)$: $h_n = u_1 q^{n-1} = 25 . \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} = \frac{100}{4^n}$.
b) Ta có: $\lim h_n = \lim \frac{100}{4^n} = \lim \left( 100 . \frac{1}{4^n} \right) = \lim 100 . \lim \left( \frac{1}{4} \right)^n = 100 . 0 = 0$.
Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
Danh sách bình luận