Một mẫu chất phóng xạ $^{210}_{84}$Po có khối lượng ban đầu $m_0 = 42$ (mg), nhưng cứ sau một khoảng thời gian $T = 138$ ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa ($T$ được gọi là chu kì bán rã).
Gọi $u_n$ là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau $n$ chu kì bán rã.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $(u_n)$ và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó.
Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}$.
Áp dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số.
a) Vì cứ sau 1 chu kì bán rã thì khối lượng mẫu chất phóng xạ giảm một nửa nên $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 21$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.
Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là: $u_n = \frac{42}{2^n}$.
b) Ta có: $\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{42}{2^n} = \lim_{n \to \infty} 42 . \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 42 . 0 = 0$.
Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ càng dần về 0, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ dài thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ là rất nhỏ (đến mức không đáng kể).
Danh sách bình luận