Đề bài

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A\left( {5;1;3} \right);\, B\left( {4;2;3} \right);\, C\left( {5;0;3} \right)$.

a) $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 1;1;0} \right)$ ; $\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {0; - 1;0} \right)$.

Đúng

Sai

b) $AB = \sqrt{3};\, AC = 2$.

Đúng

Sai

c) Góc $\widehat{BAC} = 45^{0}$.

Đúng

Sai

d) Diện tích tam giác ABC bằng $\dfrac{1}{2}$.

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 1;1;0} \right)$ ; $\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {0; - 1;0} \right)$.

Đúng

Sai

b) $AB = \sqrt{3};\, AC = 2$.

Đúng

Sai

c) Góc $\widehat{BAC} = 45^{0}$.

Đúng

Sai

d) Diện tích tam giác ABC bằng $\dfrac{1}{2}$.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Với hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

b) Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Độ dài vecto \(\overrightarrow {AB} \) hay khoảng cách từ A đến B là: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

c) Để tính góc \(\alpha \) giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), ta sử dụng công thức:

\(\cos \alpha  = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}\).

d) Áp dụng công thức \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A\).

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = (4 - 5;2 - 1;3 - 3) = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow {AC}  = (5 - 5;0 - 1;3 - 3) = (0; - 1;0)\).

b) Sai. \(AB = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \), \(AC = \sqrt {{0^2} + {{( - 1)}^2} + {0^2}}  = 1\).

c) Sai. \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{ - 1.0 + 1.( - 1) + 0.0}}{{\sqrt 2 .1}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = {135^o}\).

d) Đúng. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .1.\sin {135^o} = \frac{1}{2}\).