Đề bài

Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch dụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau:

Toà nhà A(0; 0; 0);

Toà nhà B(6; 0; 0);

Toà nhà \(C\left( {3;\sqrt 3 ;2\sqrt 6 } \right)\).

Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến 3 toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Gọi vị trí tháp là T(x; y; z).

Chứng minh tam giác ABC đều, khi đó TA + TB + TC nhỏ nhất khi T là trọng tâm tam giác ABC.

Áp dụng biểu thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tìm tọa độ điểm T.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi vị trí tháp là T(x; y; z).

\(AB = \sqrt {{{(6 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}}  = 6\);

\(BC = \sqrt {{{(3 - 6)}^2} + {{(\sqrt 3  - 0)}^2} + {{(2\sqrt 6  - 0)}^2}}  = 6\);

\(CA = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{(\sqrt 3  - 0)}^2} + {{(2\sqrt 6  - 0)}^2}}  = 6\).

Như vậy AB = BC = CA, suy ra tam giác ABC đều.

Khi đó, vị trí T để TA + TB + TC ngắn nhất là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 6 + 3}}{3} = 3\\y = \frac{{0 + 0 + \sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\z = \frac{{0 + 0 + 2\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow T\left( {3;\frac{{\sqrt 3 }}{3};\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\).

Khi đó khoảng cách từ tháp đến các toà nhà là: \(TA = TB = TC = 2\sqrt 3 \).

Vậy tổng khoảng cách cần tìm là: \(S = TA + TB + TC = 6\sqrt 3  \approx 10,4\).

Mở rộng

Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Độ dài vecto \(\overrightarrow {AB} \) hay khoảng cách từ A đến B là: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

 

Tọa độ trọng tâm của tam giác

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).