Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\Delta ABC$ biết A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(1; 1; 3). $H(x_{0};y_{0};z_{0})$ là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải

Vì B, C, H thẳng hàng nên $\overset{\rightarrow}{BH} = t\overset{\rightarrow}{BC}$, từ đó biểu diễn tọa độ điểm H theo t.

Giải $\left. \overset{\rightarrow}{AH}\bot\overset{\rightarrow}{BC}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AH} \cdot \overset{\rightarrow}{BC} = 0 \right.$ tìm t, từ đó suy ra tọa độ điểm H.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

$\overset{\rightarrow}{BC} = (1; - 1;3)$, $\overset{\rightarrow}{BH}(x_{0};y_{0} - 2;z_{0})$.

Vì B, C, H thẳng hàng nên $\overset{\rightarrow}{BH} = t\overset{\rightarrow}{BC}$, $t \in R$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{0} = t} \\ {y_{0} - 2 = - t} \\ {z_{0} = 3t} \end{array} \right.$ $\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$.

$H(t;2 - t;3t) \in BC$. Khi đó: $\overset{\rightarrow}{AH} = (t - 2;2 - t;3t)$.

Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên:

$\left. \overset{\rightarrow}{AH}\bot\overset{\rightarrow}{BC}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AH} \cdot \overset{\rightarrow}{BC} = 0\Leftrightarrow t - 2 - 2 + t + 9t = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{4}{11} \right.$.

$\left. \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{11};\dfrac{18}{11};\dfrac{12}{11}} \right)\Rightarrow x_{0} + y_{0} + z_{0} = \dfrac{34}{11} \approx 3,09 \right.$.