Đề bài

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc E của chiếc cần cầu sao cho các đoạn dây cáp EA; EB; EC; ED bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc $\alpha$. Chiếc cần cầu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết các lực căng $\overset{\rightarrow}{F_{1}};\overset{\rightarrow}{F_{2}};\overset{\rightarrow}{F_{3}};\overset{\rightarrow}{F_{4}}$ đều có cường độ là 4800 N, trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là $7200\sqrt{6}$ N. Tính sin $\alpha$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Áp dụng các phép toán vecto.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi $A_{1};B_{1};C_{1};D_{1}$ là các điểm thỏa mãn $EA_{1} = F_{1}$; $EB_{1} = F_{2}$; $EC_{1} = F_{3}$; $ED_{1} = F_{4}$.

Vì EA; EB; EC; ED bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) góc $\alpha$ nên

$EA_{1};EB_{1};EC_{1};ED_{1}$ cũng bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})$ góc $\alpha$.

Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ cũng là hình chữ nhật có tâm O.

Từ các điều kiện trên ta suy ra $EO\bot(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})$. Khi đó $\alpha = (EA_{1};(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})) = \widehat{EA_{1}O}$.

Ta có: $\left| \overset{\rightarrow}{F_{1}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{F_{2}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{F_{3}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{F_{4}} \right| = 4800$ N nên $EA_{1} = EB_{1} = EC_{1} = ED_{1} = 4800$.

Xét tam giác $EA_{1}O$ vuông tại O nên $EO = EA_{1}\sin\alpha = 4800.\sin\alpha$.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} + \overset{\rightarrow}{F_{3}} + \overset{\rightarrow}{F_{4}} = \overset{\rightarrow}{EA_{1}} + \overset{\rightarrow}{EB_{1}} + \overset{\rightarrow}{EC_{1}} + \overset{\rightarrow}{ED_{1}} = 4\overset{\rightarrow}{EO}$

Mặt khác: $\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} + \overset{\rightarrow}{F_{3}} + \overset{\rightarrow}{F_{4}} = \overset{\rightarrow}{P}$ với $\overset{\rightarrow}{P}$ là trọng lực tác động lên khung chứa xe ô tô.

Suy ra: $\overset{\rightarrow}{P} = 4\overset{\rightarrow}{EO}$.

Trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là:

$\left| \overset{\rightarrow}{P} \right| = 4EO = 19200.\sin\alpha$ (N).

Theo bài ra ta có: $\left. 19200.\sin\alpha = 7200\sqrt{6}\Leftrightarrow\sin\alpha = \dfrac{3\sqrt{6}}{8} \approx 0,92 \right.$.