Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2;1;5} \right),C\left( {2;4;2} \right).$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Điểm $I\left( {a;b;c} \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ thỏa mãn $\left| {3\overset{\rightarrow}{IB} - \overset{\rightarrow}{IC}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a - 2b + 2c = 15$.
b) Góc giữa hai vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{AC}$ bằng $30{^\circ}$.
c) $\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} = \left( {5;7;10} \right)$.
d) Tọa độ trung điểm của $AB$ là $\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} \right)$.
a) Điểm $I\left( {a;b;c} \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ thỏa mãn $\left| {3\overset{\rightarrow}{IB} - \overset{\rightarrow}{IC}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a - 2b + 2c = 15$.
b) Góc giữa hai vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{AC}$ bằng $30{^\circ}$.
c) $\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} = \left( {5;7;10} \right)$.
d) Tọa độ trung điểm của $AB$ là $\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} \right)$.
Áp dụng các phép toán vecto trong không gian.
a) Đúng. I thuộc (Oxz) nên I(a;0;c).
Ta có \(\overrightarrow {IB} = (2 - a;1;5 - c)\); \(\overrightarrow {IC} = (2 - a;4;2 - c)\);
\(3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = (6 - 3a + a - 2;3 - 4;15 - 3c + c - 2) = (4 - 2a; - 1;13 - 2c)\).
\(\left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{{(4 - 2a)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{(13 - 2c)}^2}} = \sqrt {\frac{{93}}{2} + {a^2} - 4a + {c^2} - 13c} \).
\(\left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(\frac{{93}}{2} + {a^2} - 4a + {c^2} - 13c\) nhỏ nhất.
Ta có \(\frac{{93}}{2} + {a^2} - 4a + {c^2} - 13c = \left( {4 + {a^2} - 4a} \right) + \left( {\frac{{169}}{4} + {c^2} - 13c} \right) + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c = \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó \(a - 2b + 2c = 2 - 2.0 + 2.\frac{{13}}{2} = 15\).
b) Sai. \(\overrightarrow {AB} = (1; - 1;2)\), \(\overrightarrow {AC} = (1;2; - 1)\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.1 - 1.2 - 1.2}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^o}\).
c) Đúng. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = (1 + 2 + 2;2 + 1 + 4;3 + 5 + 2) = (5;7;10)\).
d) Đúng. Trung điểm của AB có tọa độ: \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{2 + 1}}{2};\frac{{3 + 5}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)\).
Danh sách bình luận