Đề bài

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{a} = (-2; 1; 1)$, $\vec{b} = (2; -1; 1)$, $\vec{c} = (x; 1; y)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) $|\vec{a}| = \sqrt{6}$.

Đúng

Sai

b) Tọa độ của $\vec{u} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$ là $(10; -5; 4)$.

Đúng

Sai

c) Vectơ $\vec{c}$ cùng phương với vectơ $\vec{b}$ thì $x + y = 3$.

Đúng

Sai

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Khi đó $\cos \varphi = -\frac{2}{3}$.

Đúng

Sai

Đáp án

a) $|\vec{a}| = \sqrt{6}$.

Đúng

Sai

b) Tọa độ của $\vec{u} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$ là $(10; -5; 4)$.

Đúng

Sai

c) Vectơ $\vec{c}$ cùng phương với vectơ $\vec{b}$ thì $x + y = 3$.

Đúng

Sai

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Khi đó $\cos \varphi = -\frac{2}{3}$.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) \(\overrightarrow a  = (x;y;z) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \).

b) Cho \(\overrightarrow a ({x_a};{y_a};{z_a})\), \(\overrightarrow b ({x_b};{y_b};{z_b})\) và số thực k.

+ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = ({x_a} + {x_b};{y_a} + {y_b};{z_a} + {z_b})\).

+ \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b};{z_a} - {z_b})\).

+ \(k\overrightarrow a  = (k{x_a};k{y_a};k{z_a})\).

c) Nếu \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \).

d) \(\cos \alpha  = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}\).

a) Đúng. \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \).

b) Sai. \(\overrightarrow u  = \left( { - 2.( - 2) + 3.2; - 2.1 + 3.( - 1); - 2.1 + 3.1} \right) = \left( {10; - 5;1} \right)\).

c) Sai. \(\overrightarrow c \) cùng phương với \(\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\1 =  - k\\y = k\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 1\\x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow x + y =  - 3\).

d) Đúng. \(\cos \varphi  = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.2 + 1.( - 1) + 1.1}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} =  - \frac{2}{3}\).