Một thùng rượu có bán kính đáy là thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm, chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?
-
A.
425 162 lít
-
B.
212 581 lít
-
C.
212,6 lít
-
D.
425,2 lít
Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.
Lập phương trình đường parabol giới hạn thùng rượu và hai đường thẳng biểu diễn đáy trên mặt cắt.
Áp dụng công thức tính thể tích \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
Gọi parabol nằm trên là $(P): y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).
Khi đó parabol đi qua điểm có tọa độ (0;40) (vì thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính 40cm) suy ra $y(0) = 40 \Rightarrow c = 40$.
Đổi 1 m = 100 cm và bán kính đáy là 30 cm nên thì ta có $y(50) = y(-50) = 30$.
Từ đó $2500a + 50b + 40 = 2500a - 50b + 40 \Leftrightarrow b = 0$.
Suy ra $2500a + 50 \cdot 0 + 40 = 30 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{250}$.
Phương trình Parabol $(P): y = -\frac{1}{250}x^2 + 40$.
Thể tích thùng rượu là:
$V = \pi \int_{-50}^{50} \left( -\frac{1}{250}x^2 + 40 \right)^2 dx \approx 425162$ $cm^3 = 415,162$ lít.
Đáp án : D
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Công thức chung để tính thể tích của vật thể thu được khi quay một miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, đường thẳng x = a và x = b quanh trục Ox là: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}$.
Danh sách bình luận