Đề bài

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải

Hàm số y = f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 3{x^2} + 2(m + 1)x + 3\).

Hàm số \(y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(3{x^2} + 2(m + 1)x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = {{(m + 1)}^2} - 9 \le 0}\\{a = 3 > 0}\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 2\).