Đề bài

Mỗi trang của một quyển sách giáo khoa Toán được thiết kế thỏa mãn các tiêu chí sau (trang sách có dạng hình chữ nhật ABCD, phần diện tích dùng để trình bày là MNPQ):

- Diện tích của trang sách ABCD bằng 491,04 (cm${}^{2}$).

- Lề trên và lề dưới bằng nhau và bằng 22 (mm).

- Lề trái và phải lần lượt là 15 (mm) và 16 (mm).

Phần diện tích dùng để trình bày (sau khi căn chỉnh lề) đạt giá trị lớn nhất, khi đó chu vi mỗi trang sách bằng bao nhiêu? (đơn vị: mm).

Phương pháp giải

Gọi \(MQ = x\) (đơn vị: mm, \(x>0\)).

Lập hàm số biểu diễn phần diện tích dùng để trình bày theo \(x\).

Tìm \(x\) để hàm số trên đạt GTLN, từ đó suy ra kích thước trang sách.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi \(MQ = x\) (đơn vị: mm, \(x>0\)), suy ra \(AD = x + 44\) (mm).

Từ đó ta có \(AB = \frac{{49104}}{{x + 44}}\) (mm), do đó \(MN = \frac{{49104}}{{x + 44}} - 31\) (mm).

Diện tích dùng để trình bày là \(S(x) = x\left( {\frac{{49104}}{{x + 44}} - 31} \right) = \frac{{49104x}}{{x + 44}} - 31x\) \(\left( {m{m^2}} \right)\).

\(S'(x) = \frac{{49104(x + 44) - 49104x}}{{{{(x + 44)}^2}}} - 31 = \frac{{2160576}}{{{{(x + 44)}^2}}} - 31\).

\(S'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2160576}}{{{{(x + 44)}^2}}} - 31 = 0 \Leftrightarrow {(x + 44)^2} = 69696\)

\( \Leftrightarrow x + 44 =  \pm 264 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 220\\x =  - 308\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(TM)}\\{}&{(L)}\end{array}\).

Lập BBT thấy diện tích dùng để trình bày đạt GTLN tại x = 220.

Khi đó AD = 264, AB = 186 (mm).

Chu vi mỗi trang sách là 264.2 + 186.2 = 900 (mm).