Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\\z = - t\end{array} \right.\) và 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có phương trình $x + 2y + 2z + 3 = 0;x + 2y + 2z + 7 = 0$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm$I$ thuộc đường thẳng $d$, tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
-
A.
${{(x+3)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=~\dfrac{4}{9}$
-
B.
\({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \dfrac{4}{9}\)
-
C.
\({(x + 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \dfrac{4}{9}\)
-
D.
\({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = \dfrac{4}{9}\)
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu.
Ta có
$\begin{array}{l}I \in d \Rightarrow I\left( {t; - 1; - t} \right)\\ \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} \\ \Leftrightarrow \left| { - t + 1} \right| = \left| { - t + 5} \right| \Leftrightarrow t = 3\\ \Rightarrow I\left( {3; - 1; - 3} \right)\\ \Rightarrow R = \dfrac{{\left| { - 3 + 1} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow (S):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\end{array}$
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
