Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) theo sơ đồ trên.

Phương pháp giải

Chia hai trường hợp a > 0 và a < 0 và thực hiện khảo sát hàm số theo từng bước.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trường hợp a > 0

TXĐ: D = R.

\(y' = 2ax + b = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{b}{{2a}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (ax^2 + bx + c) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (ax^2 + bx + c) =  - \infty \).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

Hàm số đạt giá trị cực trị bằng \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) tại \(- \frac{b}{{2a}}\).

Trường hợp a < 0

TXĐ: D = R.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (ax^2 + bx + c) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (ax^2 + bx + c) =  + \infty \).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt giá trị cực trị bằng \( - \frac{\Delta }{{4a}}\) tại \(- \frac{b}{{2a}}\).

Đồ thị cho hai trường hợp

Mở rộng

Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính f’(x). Tìm nghiệm của f’(x) = 0 và các giá trị sao cho f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f(x)\) và tìm đường tiệm cận, điểm cực trị (nếu có).

Bước 4: Tìm một số điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua.

Bước 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.