Đề bài

Thầy An tham dự giải “Đi bộ trực tuyến Ngành Giáo dục và Đào tạo Edu Run – HCMC” năm 2024. Quãng đường thầy An đi được biểu diễn bằng hàm số \(s(t) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d\) (với \(a \ne 0\)) có đồ thị như hình bên (trong đó t là thời gian tính bằng giờ, s là quãng đường tính bằng km). Khi đó, vận tốc tối đa của thầy An đạt được là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Dựa vào các điểm đồ thị đi qua, lập hệ phương trình, giải để tìm hệ số a, b, c, d của hàm số s(t). Từ đó suy ra hàm số v(t).

Ứng dụng đạo hàm, tìm GTLN của hàm số v(t).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

\(v(t) = s'(t) = 3a{t^2} + 2bt + c\).

Quan sát hình vẽ, thấy đồ thị hàm số s(t) đi qua các điểm có tọa độ (0;0), (2;12), (4;24) nên ta có s(0) = 0, s(2) = 12, s(4) = 24.

Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại x = 4 nên s’(4) = 0.

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}s(0) = 0\\s(2) = 12\\s(4) = 24\\s'(4) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{.0^3} + b{.0^2} + c.0 + d = 0\\a{.2^3} + b{.2^2} + c.2 + d = 12\\a{.4^3} + b{.4^2} + c.4 + d = 24\\3a{.4^2} + 2b.4 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{3}{4}\\b = \frac{9}{2}\\c = 0\\d = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(s(t) =  - \frac{3}{4}{t^3} + \frac{9}{2}{t^2}\); \(v(t) =  - \frac{9}{4}{t^2} + 9t\).

Để tìm vận tốc tối đa thầy An đạt được, ta cần tìm GTLN của hàm số \(v(t) =  - \frac{9}{4}{t^2} + 9t\).

Ta có \(v'(t) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{9}{2}t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ tối đa thầy An đạt được là 9 km/h.

Mở rộng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].