Hàm số \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{9x^2 + 5} - 1}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) \geq 0\) là \(S = [a; b]\). Tính giá trị của biểu thức \(S = a^2 + b^2\). (Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm và giải bất phương trình chứa dấu căn.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
\(f'(x) = \frac{{x'\left( {\sqrt {9{x^2} + 5} - 1} \right) - x.\left( {\sqrt {9{x^2} + 5} - 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {9{x^2} + 5} - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\sqrt {9{x^2} + 5} - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }}}}{{{{\left( {\sqrt {9{x^2} + 5} - 1} \right)}^2}}}\).
\(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 5} - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{9{x^2} + 5}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 1 \Leftrightarrow 5 \ge \sqrt {9{x^2} + 5} \) (cả tử và mẫu đều dương nên ta nhân chéo)
\( \Leftrightarrow 25 \ge 9{x^2} + 5 \Leftrightarrow 9{x^2} \le 20 \Leftrightarrow {x^2} \le \frac{{20}}{9} \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{20}}{9}} \le x \le \sqrt {\frac{{20}}{9}} \).
Do đó \(S = \left[ { - \sqrt {\frac{{20}}{9}} ;\sqrt {\frac{{20}}{9}} } \right]\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{{20}}{9} + \frac{{20}}{9} = \frac{{40}}{9} \approx 4,4\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\).
-
A.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\)
-
B.
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\)
-
C.
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\)
-
D.
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)
Bài 2 :
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^3}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}\) là
-
A.
\( y'=- \dfrac{3}{{{x^4}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
-
B.
\(y'=\dfrac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}}\)
-
C.
\(y'=\dfrac{{ - 3}}{{{x^4}}} - \dfrac{2}{{{x^3}}}\)
-
D.
\(y'=\dfrac{3}{{{x^4}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
Bài 3 :
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) tại điểm $x = - 1$.
-
A.
$f'\left( { - 1} \right) = 4.$
-
B.
\(f'\left( { - 1} \right) = 14.\)
-
C.
$f'\left( { - 1} \right) = 15.$
-
D.
$f'\left( { - 1} \right) = 24.$
Bài 4 :
Đạo hàm cấp một của hàm số \(y = {\left( {1 - {x^3}} \right)^5}\) là:
-
A.
\(y' = 5{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\) .
-
B.
\(y' = - 15{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).
-
C.
\(y' = - 3{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).
-
D.
\(y' = - 5{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).
Bài 5 :
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 5\). Phương trình \(y' = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left\{ { - 1;2} \right\}\).
-
B.
\(\left\{ { - 1;3} \right\}\).
-
C.
\(\left\{ {0;4} \right\}\).
-
D.
\(\left\{ {1;2} \right\}\).
Bài 6 :
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^2} - 2x + 5}}.\)
-
A.
$y' = \dfrac{{2x - 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.$
-
B.
$y' = \dfrac{{ - 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.$
-
C.
\(y' = (2x - 2)({x^2} - 2x + 5).\)
-
D.
\(y' = \dfrac{1}{{2x - 2}}.\)
Bài 7 :
Hàm số \(y = \dfrac{{{x^4}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + 2021\) có đạo hàm là
-
A.
\(y' = 8{x^3} - 3x\)
-
B.
\(y' = 2{x^3} - {x^2}\)
-
C.
\(y' = 2{x^3} - {x^2} + 1\)
-
D.
\(y' = 2{x^3} - {x^2} - 1\)
Bài 8 :
Cho hàm số \(y = f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). \(y'\) của hàm số là
-
A.
\(y' = \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{1}{2}x - 12\)
-
B.
\(y' = {x^2} + x - 12\)
-
C.
\(y' = 3{x^2} + 2x - 12\)
-
D.
\(y' = {x^2} + x + 12\)
Bài 9 :
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 3\) và \(g\left( x \right) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 5\). Bất phương trình \(f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\) có tập nghiệm là
A. \(\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
B. \(\left( {0;1} \right)\).
C. \(\left[ {0;1} \right]\).
D. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Bài 10 :
Hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\) có đạo hàm là
A. \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
B. \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
C. \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
D. \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Bài 11 :
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \left( {{x^2} + 3x - 1} \right){e^x}\);
b) \(y = {x^3}{\log _2}x\).
Bài 12 :
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = x{\log _2}x\);
b) \(y = {x^3}{e^x}\).
Bài 13 :
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 2{{\rm{x}}^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 4{\rm{x}} - \frac{1}{3}\);
b) \(y = \frac{{ - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 1}}\); d) \(y = \sqrt {5{\rm{x}}} \).
Bài 14 :
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}};\)
b) \(y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right).\)
Bài 15 :
Với u, v là các hàm số hợp theo biến x, quy tắc đạo hàm nào sau đây là đúng?
A. \((u + v)' = u' - v'\).
B. \((uv)' = u'v + uv'\).
C. \({\left( {\frac{1}{v}} \right)^,} = - \frac{1}{{{v^2}}}\).
D. \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u'v + uv'}}{{{v^2}}}\).
Bài 16 :
Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=\tan x+\cot x$ tại điểm ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$.
Bài 17 :
Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.
Bài 18 :
a) \((u + v + w)' = u' + v' + w'\).
b) \((u + v - w)' = u' + v' - w'\).
c) \((uv)' = u'v'\).
d) \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'}}{{v'}};\,\,\,v = v(x) \ne 0,v' = v'(x) \ne 0\).
Bài 19 :
Cho \(u = u(x),v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \((uv)' = u'v'\)
B. \((uv)' = uv'\)
C. \((uv)' = u'v\)
D. \((uv)' = u'v + uv'\)
Bài 20 :
Cho \(u = u(x),v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'}}{{v'}}\) với \(v = v(x) \ne 0,v = v'(x) \ne 0\)
B. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{v}\) với \(v = v(x) \ne 0\)
C. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) với \(v = v(x) \ne 0\)
D. \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{v'}}\) với \(v = v(x) \ne 0;\,\,v' = v'(x) \ne 0\)
Bài 21 :
Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 2}}\) có đạo hàm là
A. \(y' = - \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
B. \(y' = - \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
C. \(y' = \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
D. \(y' = \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
Bài 22 :
Cho \(f = f\left( x \right),{\rm{ }}g = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \({\left( {fg} \right)^\prime } = fg'.\)
B. \({\left( {fg} \right)^\prime } = f'g'.\)
C. \({\left( {fg} \right)^\prime } = f'g - fg'.\)
D. \({\left( {fg} \right)^\prime } = f'g + fg'.\)
Bài 23 :
Cho \(f = f\left( x \right),{\rm{ }}g = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định và \(g = g\left( x \right) \ne 0,{\rm{ }}g' = g'\left( x \right) \ne 0\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'}}{{g'}}.\)
B. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}.\)
C. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'}}{{{g^2}}}.\)
D. \({\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \frac{{f'g + fg'}}{{{g^2}}}.\)
Bài 24 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}.\) Khi đó, \(f'\left( x \right)\) bằng:
A. \( - \frac{1}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)
B. \( - \frac{2}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)
C. \(\frac{2}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)
D. \(\frac{1}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}.\)
Bài 25 :
Cho hàm số \(f = f\left( x \right),g = g\left( x \right),h = h\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Khi đó, \({\left( {fg + h} \right)^\prime }\) bằng:
A. \(f'g' + h'.\)
B. \(f'g'h'.\)
C. \(f'g + fg' + h'.\)
D. \(f'gh' + fg'h.\)
Bài 26 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ax + b}}.\) Khi đó, \(f'\left( x \right)\) bằng:
A. \( - \frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)
B. \(\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)
C. \(\frac{a}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)
D. \( - \frac{a}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}.\)
Bài 27 :
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 2}}\)
b) \(y = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}}\)
Bài 28 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + 5g\left( x \right)} \) và \(g\left( 0 \right) = 3,g'\left( 0 \right) = - 8\). Đạo hàm \(f'\left( 0 \right)\) bằng
A. \(10\).
B. \( - 8\).
C. \( - 5\).
D. \(5\).
Bài 29 :
Chọn mệnh đề sai.
-
A.
(u.v)’ = u’.v’
-
B.
(u – v)’ = u’ – v’
-
C.
(u.v)’ = u’.v – u.v’
-
D.
(u + v)’ = u’ + v’
Bài 30 :
Đạo hàm của hàm số \({x^2} + {3^x}\) trên \(\mathbb{R}\) là
-
A.
\(y' = 2x + {3^x}\)
-
B.
\(y' = 2x + {3^x}\ln 3\)
-
C.
\(y' = 2x + x{3^{x - 1}}\)
-
D.
\(y' = x + {3^x}\ln 3\)
