Đề bài

Hàm số \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{9x^2 + 5} - 1}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) \geq 0\) là \(S = [a; b]\). Tính giá trị của biểu thức \(S = a^2 + b^2\). (Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).

Phương pháp giải

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm và giải bất phương trình chứa dấu căn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(f'(x) = \frac{{x'\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right) - x.\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }}}}{{{{\left( {\sqrt {9{x^2} + 5}  - 1} \right)}^2}}}\).

\(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 5}  - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{9{x^2} + 5}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} - 1 - \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt {9{x^2} + 5} }} \ge 1 \Leftrightarrow 5 \ge \sqrt {9{x^2} + 5} \) (cả tử và mẫu đều dương nên ta nhân chéo)

\( \Leftrightarrow 25 \ge 9{x^2} + 5 \Leftrightarrow 9{x^2} \le 20 \Leftrightarrow {x^2} \le \frac{{20}}{9} \Leftrightarrow  - \sqrt {\frac{{20}}{9}}  \le x \le \sqrt {\frac{{20}}{9}} \).

Do đó \(S = \left[ { - \sqrt {\frac{{20}}{9}} ;\sqrt {\frac{{20}}{9}} } \right]\).

Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{{20}}{9} + \frac{{20}}{9} = \frac{{40}}{9} \approx 4,4\).