Đề bài

Hàm số nào sau đây liên tục tại \( x = 1 \)?

• A. \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x < 1 \\ 2x + 1 & \text{khi } x \ge 1 \end{cases} \).
• B. \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x < 1 \\ 2x & \text{khi } x \ge 1 \end{cases} \).
• C. \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{khi } x \ge 1 \end{cases} \).
• D. \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x < 1 \\ x - 1 & \text{khi } x \ge 1 \end{cases} \).

Phương pháp giải

Điều kiện để hàm số y = f(x) liên tục tại x = a:

f(a) tồn tại;

$\lim_{x \to a} f(x) $ tồn tại;

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} = f(a)$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét từng đáp án:

A.

- \(f(1) = 2(1) + 1 = 3\).

- Với \(x < 1\): \(\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\) (với \(x \ne 1\)).

\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2\).

- Với \(x \geq 1\): \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 1) = 3\).

\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \ne 3 = \lim_{x \to 1^+} f(x)\) nên \(\lim_{x \to 1} f(x)\) không tồn tại.

→ Không liên tục tại \(x=1\).

B.

- \(f(1) = 2(1) = 2\).

- \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2\).

- \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2\).

- \(\lim_{x \to 1} f(x) = 2 = f(1)\).

→ Liên tục tại \(x=1\).

C.

- \(f(1) = 2(1) - 1 = 1\).

- \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2\).

- \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1\).

- \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \ne 1 = \lim_{x \to 1^+} f(x)\) nên \(\lim_{x \to 1} f(x)\) không tồn tại.

→ Không liên tục tại \(x=1\).

D.

- \(f(1) = 1 - 1 = 0\).

- \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2\).

- \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0\).

- \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \ne 0 = \lim_{x \to 1^+} f(x)\) nên \(\lim_{x \to 1} f(x)\) không tồn tại.

→ Không liên tục tại \(x=1\).

Đáp án : B