Đề bài

Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁶ + x³ – x² – 1

Phương pháp giải

Sử dụng thêm bớt để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

x⁶ + x³ – x² – 1

= x⁶ – x³ + 2x³ – 2x² + x² – 1

= (x⁶ – x³) + (2x³ – 2x²) + (x² – 1)

= x³(x³ – 1) + 2x²(x – 1) + (x – 1)(x + 1)

= (x – 1)[x³(x² + x + 1) + 2x² + x + 1]

= (x – 1)(x⁵ + x⁴ + x³ + 2x² + x + 1)

Chú ý

Xét đa thức g(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  có bậc 5 là số lẻ.

Khi đó giả sử tồn tại 2 đa thức h(x) và j(x) hệ số nguyên sao cho: g(x) = h(x).j(x)

Khi đó 1 trong 2 đa thức h(x), j(x) phải có bậc lẻ (vì nếu cả 2 đều bậc chẵn thì thành thử bậc của g(x) phải chẵn, mâu thuẫn theo trên).

Không mất tổng quát, giả sử đa thức h(x)h(x) có bậc lẻ. Khi đó nếu nó có nghiệm hữu tỉ thì gọi nghiệm hữu tỉ này là \(x = \frac{p}{q}\) \((p,q \in \mathbb{Z}; (p;q)=1)\) thì \(p \vdots 1, q \vdots 1\) nên x = ±1. Thử lại, ta thấy 2 nghiệm này đều không thỏa mãn.

Do đó, g(x) không có nghiệm vô tỉ nên ta không thể phân tích tiếp f(x) thành nhân tử được nữa.

Mở rộng

Phương pháp nhóm hạng tử

Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.