Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

• A. $x - 2y + 3z - 2 = 0$      
• B. $x - 2y - 3z - 2 = 0$     
• C. $x + 2y - 3z - 6 = 0$     
• D. $2x - y - 1 = 0$

Phương pháp giải

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

 + Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Đáp án : B