Đề bài

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi E là trung điểm cạnh AB. Gọi I, K, M lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA.

a) Tứ giác EIKM là hình gì?

b) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để EIKM là hình vuông.

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất của đường trung bình để chứng minh tứ giác EIKM có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

b) Để hình thoi là hình vuông thì hai cạnh phải vuông góc với nhau.

Kết hợp với các cạnh song song với nhau để có điều kiện của hình thang ABCD.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tam giác ABC có E; I lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Suy ra ta có EI là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó EI // AC, EI = \(\frac{1}{2}\)AC        (1)

Chứng minh tương tự ta có: MK // AC, MK = \(\frac{1}{2}\)AC    (2)

 và ME // BD, ME = \(\frac{1}{2}\)BD    (3)

Mặt khác AC = BD (do tứ giác ABCD là hình thang cân)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra ME = \(\frac{1}{2}\)AC = MK          (5)

Từ (1); (2); (5) suy ra tứ giác EIKM là hình thoi.

b) Để tứ giác EIMK là hình vuông thì EM \( \bot \) EI.

Mà theo câu a) ta có: EI // AC; EM // BD.

Khi đó suy ra để tứ giác EIMK là hình vuông thì AC \( \bot \) BD.

Mở rộng

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.

- Cách chứng minh hình thoi: tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

- Để hình thoi là hình vuông thì các góc của hình thoi phải bằng \(90^\circ \) hay hai cạnh kề của hình thoi vuông góc với nhau.